人教版专题03 导数及其应用（选填题）（文科专用）（教师版）.docx

专题03 导数及其应用（选填题）（文科专用）
1．【2022年全国甲卷】当x=1时，函数f(x)=alnx+bx取得最大值−2，则f'(2)=（       ）
A．−1 B．−12 C．12 D．1
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意可知f1=−2，f'1=0即可解得a,b，再根据f'x即可解出．
【详解】
因为函数fx定义域为0,+∞，所以依题可知，f1=−2，f'1=0，而f'x=ax−bx2，所以b=−2,a−b=0，即a=−2,b=−2，所以f'x=−2x+2x2，因此函数fx在0,1上递增，在1,+∞上递减，x=1时取最大值，满足题意，即有f'2=−1+12=−12．
故选：B.
2．【2021年乙卷文科】设，若为函数的极大值点，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项.
【详解】
若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.
有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的.
当时，由，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故.
当时，由时，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故.
综上所述，成立.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.
3．【2019年新课标2卷文科】曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先判定点是否为切点，再利用导数的几何意义求解.
【详解】
当时，，即点在曲线上．则在点处的切线方程为，即．故选C．
【点睛】
本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程．
4．【2020年新课标1卷文科】曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.
【答案】
【解析】
【分析】
设切线的切点坐标为，对函数求导，利用，求出，代入曲线方程求出，得到切线的点斜式方程，化简即可