人教第3章 导数及其应用 第3节　导数与函数的极值、最值.docx

第3节　导数与函数的极值、最值
考试要求　1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件；2.会用导数求函数的极大值、极小值；3.会求闭区间上函数的最大值、最小值；4.会利用导数解决某些简单的实际问题.
1.函数的极值与导数
条件
f′(x0)＝0
x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0
x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0
图象
极值
f(x0)为极大值
f(x0)为极小值
极值点
x0为极大值点
x0为极小值点
2.函数的最值与导数
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
1.对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件.
2.求最值时，应注意极值点与所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.
3.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数f(x)在区间(a，b)上不存在最值.(　　)
(2)函数的极大值一定大于其极小值.(　　)
(3)对可导函数f(x)，若f′(x0)＝0，则x0为极值点.(　　)
(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
解析　(1)函数f(x)在区间(a，b)可以存在最值.
(2)函数的极大值也可能小于极小值.
(3)x0为f(x)的极值点的充要条件是f′(x0)＝0，且x0两侧导函数值异号.
2.如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案　A
解析　由题意知在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数值符号为左负右正.
3.函数f(x)＝2x－xln x的极值是(　　)
A. B. C.e D.e2
答案　C
解析　因为f′(x)＝2－(ln x＋1)＝1－ln x，令f′(x)>0时，解得0<x<e；
令f′(x)<0时，解得x>e，所以x＝e时，f(x)取到极大值，f(x)极大值＝f(e)＝e.
4.(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝ln(a－x)，已知x＝0是函数y＝xf(x)的极值点，则a＝________.
答案　1
解析　由题意得y＝xf(x)＝xln(a－x)，
则y′＝ln(a－x)＋x[ln(a－x)]′.
因为x＝0是函数y＝xf(x)的极值点，
所以y′|x＝0＝ln a＝0，
所以a＝1(经验证，a＝1符合题意).
5.(易错题)函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有极值，则实数a的取值范围是________.
答案　(－∞，－)∪(，＋∞)
解析　f′(x)＝3x2－2ax＋2，
由题意知f′(x)有可变号零点，
∴Δ＝(－2a)2－4×3×2>0，
解得a>或a<－.
6.(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝2sin x＋sin 2x，则f(x)的最小值是________.
答案　－
解析　f(x)＝2sin x＋sin 2x的最小正周期为2π，所以只需考虑f(x)在[0，2π)上的最小值即可.
f′(x)＝2cos x＋2cos 2x
＝4cos2x＋2cos x－2，
令f′(x)＝0，得cos x＝或cos x＝－1，
则x＝，x＝或x＝π，
则函数f(x)在[0，2π)上的最小值只能在x＝0，x＝，x＝和x＝π中取得，
又因为f(0)＝0，f＝，f(π)＝0，f＝－，
所以函数f(x)＝2sin x＋sin 2x的最小值为－.
考点一　利用导数求函数的极值
角度1　根据函数图象判断极值
例1 设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数g(x)＝xf′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)
A.f(x)有两个极值点
B.f(－2)为函数的极大值
C.f(x)有两个极小值
D.f(－1)为f(x)的极小值
答案　C
解析　由题图知，当x∈(－∞，－2)时，g(x)>0，∴f′(x)<0，
当x∈(－2，0)时，g