人教第11章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第3节　二项式定理.docx

第3节　二项式定理
考试要求　1.能用计数原理证明二项式定理；2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
1.二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)；
(2)通项公式：Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C.
2.二项式系数的性质
性质
性质描述
对称性
与首末等距离的两个二项式系数相等，即C＝C
增减性
二项式系数C
当k＜(n∈N*)时，是递增的
当k＞(n∈N*)时，是递减的
二项式系数最大值
当n为偶数时，中间的一项取得最大值
当n为奇数时，中间的两项与相等且取得最大值
3.各二项式系数和
(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n.
(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
(a＋b)n的展开式形式上的特点
(1)项数为n＋1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
(4)二项式系数从C，C，一直到C，C.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)Can－kbk是二项展开式的第k项.(　　)
(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.(　　)
(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关.(　　)
(4)(a＋b)n的展开式中某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
解析　二项展开式中Can－kbk是第k＋1项，二项式系数最大的项为中间一项或中间两项，故(1)(2)均不正确.
2.(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是(　　)
A.C B.C
C.C D.(－1)m－1C
答案　D
解析　(x－y)n展开式中第m项的系数为C(－1)m－1.
3.(易错题)C＋C＋C＋…＋C的值为(　　)
A.22 022 B.22 021
C.22 022－1 D.22 022＋1
答案　C
解析　C＋C＋C＋…＋C＝(C＋C＋C＋…＋C)－1＝22 022－1.
4.(易错题)已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10.若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈N＋)是一个递增数列，则k的最大值是(　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
答案　B
解析　由二项式定理知，an＝C(n＝1，2，3，…，11).
又(x＋1)10展开式中二项式系数最大项是第6项，
所以a6＝C，则k的最大值为6.
5.(2021·北京卷)的展开式中常数项是________.
答案　－4
解析　二项展开式的通项为Tk＋1＝
C(x3)4－k＝C(－1)kx12－4k(0≤k≤4，k∈N).令12－4k＝0，得k＝3，故展开式中的常数项为C(－1)3＝－4.
6.(2020·浙江卷)二项展开式(1＋2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a4＝__________，a1＋a3＋a5＝__________.
答案　80　122
解析　由题意，得a4＝C×24＝5×16＝80.
当x＝1时，(1＋2)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35＝243，①
当x＝－1时，(1－2)5＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1.②
由①－②，得2(a1＋a3＋a5)＝243－(－1)＝244，
可得a1＋a3＋a5＝122.
考点一　通项公式及其应用
角度1　二项展开式问题
例1 (1)在的展开式中，有理项共有(　　)
A.3项 B.4项
C.5项 D.6项
(2)(2022·东北三省四市联合模拟)的展开式中常数项为________(用数字作答).
答案　(1)A　(2)－4
解析　(1)的展开式的通项为Tr＋1＝C·(2)12－r·
＝C·212－r·x，r＝0，1，…，12，
当r＝0，6，12时，展开式为有理项，故有理项共有3项，故选A.
(2)法一　＝＝，其展开式的通项为
Tr＋1＝Cx4－r＝(－1)rCx4－4r，令4－4r＝0，解得r＝1，所以常数项为(－1)1C＝－4.
法二　(x4－1)4的展开式的通项为Tr＋1＝Cx4(4－r)(－1)r＝(－1)rCx16－4r，令1