人教第8章 立体几何 第5节　直线、平面垂直的判定与性质.doc

第5节　直线、平面垂直的判定与性质
考试要求　1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.
1.直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义
如果一条直线l与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直.
(2)判定定理与性质定理
文字语言
图形表示
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判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
⇒l⊥α
性质定理
两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行
⇒a∥b
2.直线和平面所成的角
(1)定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角.
(2)范围：.
3.二面角
(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；
(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.
(3)二面角的范围：[0，π].
4.平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
(2)判定定理与性质定理
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直
⇒α⊥β
性质定理
如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面
⇒l⊥α
1.三个重要结论
(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.
(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.
2.三种垂直关系的转化
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(　　)
(2)垂直于同一个平面的两平面平行.(　　)
(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.(　　)
(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
解析　(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则有l⊥α或l与α斜交或l⊂α或l∥α，故(1)错误.
(2)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故(2)错误.
(3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与另一平面平行，也可能与另一平面相交，也可能在另一平面内，故(3)错误.
(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的所有直线，则α⊥β，故(4)错误.
2.已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则(　　)
A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n
答案　C
解析　由题意知，α∩β＝l，所以l⊂β，
因为n⊥β，所以n⊥l.
3.(2022·全国百校大联考)若m，n，l为空间三条不同的直线，α，β，γ为空间三个不同的平面，则下列为真命题的是(　　)
A.若m⊥l，n⊥l，则m∥n
B.若m⊥β，m∥α，则α⊥β
C.若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
D.若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β
答案　B
解析　A中，m，n可能平行，相交或异面；
C中，α与β可能平行或相交；
D中，α与β可能平行或相交.故选B.
4.(2018·全国Ⅰ卷)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为(　　)
A.8 B.6 C.8 D.8
答案　C
解析　连接BC1，因为AB⊥平面BB1C1C，所以∠AC1B＝30°，AB⊥BC1，所以△ABC1为直角三角形.
又AB＝2，所以BC1＝2.
又B1C1＝2，所以BB1＝＝2，
故该长方体的体积V＝2×2×2＝8.
5.如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，AE⊥PC，垂足为E，点F是PB上一点，则下列判断中不正确的是(　　)
A.BC⊥平面PAC
B.AE⊥EF
C.AC⊥PB
D.平面AEF⊥平面PBC
答案　C
解析　对于A，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，而BC⊂底面圆面，则PA⊥BC，
又由圆的性质可知AC⊥BC，且PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PA