人教2023年高考数学二轮复习(全国版理) 第1部分 专题突破 专题2 第2讲　三角恒等变换与解三角形.docx

第2讲　三角恒等变换与解三角形
[考情分析]　1.三角恒等变换主要考查化简、求值，解三角形主要考查求边长、角度、面积等，三角恒等变换作为工具，将三角函数与三角形相结合考查求解最值、范围问题.2.三角恒等变换以选择题、填空题为主，解三角形以解答题为主，中等难度．
考点一　三角恒等变换
核心提炼
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；
(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；
(3)tan(α±β)＝.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sin αcos α；
(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
(3)tan 2α＝.
例1　(1)(2022·新高考全国Ⅱ)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2cossin β，则(　　)
A．tan(α－β)＝1
B．tan(α＋β)＝1
C．tan(α－β)＝－1
D．tan(α＋β)＝－1
答案　C
解析　由题意得sin αcos β＋cos αsin β＋cos αcos β－sin αsin β＝2×(cos α－sin α)sin β，整理，得sin αcos β－cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝0，即sin(α－β)＋cos(α－β)＝0，所以tan(α－β)＝－1.
(2)(2021·全国甲卷)若α∈，tan 2α＝，则tan α等于(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　方法一　因为
tan 2α＝＝，
且tan 2α＝，
所以＝，解得sin α＝.
因为α∈，
所以cos α＝，tan α＝＝.
方法二　因为tan 2α＝＝
＝＝，
且tan 2α＝，
所以＝，
解得sin α＝.
因为α∈，
所以cos α＝，tan α＝＝.
规律方法　三角恒等变换的“4大策略”
(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等；
(2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等；
(3)降幂与升幂：正用二倍角公式升幂，逆用二倍角公式降幂；
(4)弦、切互化：一般是切化弦．
跟踪演练1　(1)(2022·张家口模拟)已知sin θcos θ＋cos2θ＝cos θ＋，θ∈，则θ＝________.
答案　或
解析　sin θcos θ＋cos2θ
＝sin 2θ＋×
＝cos＋＝cos θ＋，
故cos＝cos θ，
所以2θ－＝θ＋2kπ或2θ－＝－θ＋2kπ(k∈Z)，
故θ＝＋2kπ或θ＝＋(k∈Z)．
又θ∈，所以θ＝或.
(2)已知函数f(x)＝sin x－2cos x，设当x＝θ时，f(x)取得最大值，则cos θ＝________.
答案　－
解析　f(x)＝sin x－2cos x＝sin(x－φ)，
其中cos φ＝，sin φ＝，
则f(θ)＝sin(θ－φ)＝，
因此θ－φ＝＋2kπ，k∈Z，
则cos θ＝cos＝－sin φ＝－.
考点二　正弦定理、余弦定理
核心提炼
1．正弦定理：在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．
变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，sin A＝，sin B＝，sin C＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等．
2．余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A.
变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝.
3．三角形的面积公式：S＝absin C＝acsin B＝bcsin A.
例2　(1)(2022·济南模拟)若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsin 2A＝asin B，且c＝2b，则等于(　　)
A．3 B.
C. D.
答案　D
解析　因为bsin 2A＝asin B，
所以2bsin Acos A＝asin B，
利用正弦定理可得2abcos A＝ab，
所以cos A＝，又c＝2b，
所以cos A＝＝＝，
解得＝.
(2)(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)．
①证明：2a2＝b2＋c2；
②若a＝5，cos A＝，求△ABC的周长．
①证明　方法一
由sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)，
可得sin Csin Acos B－