人教2023年高考数学二轮复习(全国版理) 第1部分 专题突破 专题4 第1讲　空间几何体.docx

第1讲　空间几何体
[考情分析]　空间几何体的结构特征是立体几何的基础，空间几何体的表面积和体积是高考的重点与热点，多以选择题、填空题的形式考查，难度中等或偏上．
考点一　三视图与直观图
核心提炼
1．一个物体的三视图的排列规则
俯视图放在正视图的下面，长度与正视图的长度一样，侧视图放在正视图的右面，高度与正视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．
2．由三视图还原几何体的步骤
一般先依据俯视图确定底面，再利用正视图与侧视图确定几何体．
3．S直观图＝S原图．
例1　(1)(2022·全国甲卷)如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为(　　)
A．8 B．12 C．16 D．20
答案　B
解析　三视图对应的几何体是放倒的直四棱柱，如图，直四棱柱的高为2，底面是上底为2，下底为4，高为2的梯形，所以体积V＝Sh＝×(2＋4)×2×2＝12.
(2)如图，已知用斜二测画法画出的△ABC的直观图是边长为a的正三角形，则原△ABC的面积为________．
答案　a2
解析　如图，过点C′作C′M′∥y′轴，交x′轴于点M′，
过点C′作C′D′⊥x′轴，交x′轴于点D′，
则C′D′＝a，∠C′M′D′＝45°，
则C′M′＝a，
所以原三角形的高CM＝a，底边长为a，
其面积为S＝×a×a＝a2.
规律方法　由三视图还原直观图的方法
(1)注意图中实、虚线，分别是原几何体中的可视线与被遮挡线．
(2)想象原形，并画出草图后进行三视图还原，把握三视图和几何体之间的关系，与所给三视图比较，通过调整，准确画出原几何体．
(3)由三视图还原直观图时，往往采用削体法，选定一个视图，比如俯视图，然后逐步削切正方体等几何载体．
跟踪演练1　(1)(2021·全国乙卷)以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为______(写出符合要求的一组答案即可)．
答案　③④(答案不唯一，②⑤也可)
解析　根据“长对正、高平齐、宽相等”及图中数据，可知图②③只能是侧视图，图④⑤只能是俯视图，则组成某个三棱锥的三视图，所选侧视图和俯视图的编号依次是③④或②⑤.若是③④，则原几何体如图1所示；若是②⑤，则原几何体如图2所示．
(2)(2022·运城模拟)某几何体的正视图和侧视图如图1所示，它的俯视图的直观图是△A′B′C′，如图2所示，其中O′A′＝O′B′， O′C′＝，则该几何体的表面积为(　　)
A．36＋12 B．24＋8
C．24＋12 D．36＋8
答案　C
解析　由俯视图的直观图，可得该几何体的底面是边长为4的正三角形，底面积是4，
由正视图和侧视图知该几何体是三棱锥，如图所示，
其中SA⊥平面ABC，SA＝6，△SAB，△SAC 都是直角三角形，且S△SAB＝S△SAC＝×SA×AB＝×6×4＝12，
△SCB是腰长为2，底边长为4的等腰三角形，则S△SCB＝×4×＝8，
所以该几何体的表面积为24＋12.
考点二　表面积与体积
核心提炼
1．旋转体的侧面积和表面积
(1)S圆柱侧＝2πrl，S圆柱表＝2πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长)．
(2)S圆锥侧＝πrl，S圆锥表＝πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长)．
(3)S球表＝4πR2(R为球的半径)．
2．空间几何体的体积公式
(1)V柱＝Sh(S为底面面积，h为高)．
(2)V锥＝Sh(S为底面面积，h为高)．
(3)V台＝(S上＋＋S下)h(S上，S下为底面面积，h为高)．
(4)V球＝πR3(R为球的半径)．
例2　(1)(2022·凌源模拟)五脊殿是宋代传统建筑中的一种屋顶形式．如图所示，其屋顶上有一条正脊和四条垂脊，可近似看作一个底面为矩形的五面体．若某一五脊殿屋顶的正脊长
4米，底面矩形的长为6米，宽为4米，正脊到底面矩形的距离为2米，则该五脊殿屋顶的体积的估计值为(　　)
A. 立方米 B. 立方米
C．32 立方米 D．64 立方米
答案　B
解析　如图所示，将屋顶分割为一个三棱柱和两个相同的四棱锥，
三棱柱的底面是边长为4，高为2的等腰三角形，三棱柱的高为4.
四棱锥的底面是长为4，宽为1的矩形，其高为2，
所以V＝×4×2×4＋2××4×1×2＝(立方米)．
(2)(2022·全国甲卷)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若＝2，则等于(　　)
A.