人教2023年高考数学二轮复习(全国版理) 第1部分 专题突破 专题5 第3讲　统计与统计案例.docx

第3讲　统计与统计案例
[考情分析]　高考对本讲内容的考查往往以实际问题为背景，考查随机抽样与用样本估计总体、线性回归方程的求解与运用、独立性检验等问题，常与概率综合考查，中等难度．
考点一　用样本估计总体
核心提炼　
1．用样本的频率分布估计总体的分布
(1)频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距，纵坐标表示，频率＝组距×.
(2)在频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1.
2．用样本的数字特征估计总体的数字特征
样本数据：x1，x2，…，xn.
(1)标准差：样本数据到平均数的一种平均距离，
s＝.
(2)方差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2](xn是样本数据，n是样本容量，是样本平均数)．
(3)若a>0，数据ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的标准差为as，方差为a2s2.
例1　(1)某学校为了解男生身体发育情况，从2 000名男生中抽查了100名男生的体重情况，根据数据绘制样本的频率分布直方图，如图所示，下列说法中错误的是(　　)
A．样本的众数约为67 
B．样本的中位数约为66 
C．样本的平均值约为66
D．体重超过75 kg的学生频数约为200人
答案　C
解析　对于A，样本的众数为＝67 ，故A正确；
对于B，设样本的中位数为x，则5×0.03＋5×0.05＋(x－65)×0.06＝0.5，
解得x＝66 ，故B正确；
对于C，由直方图估计样本平均值可得57.5×0.15＋62.5×0.25＋67.5×0.30＋72.5×0.20＋77.5×0.10＝66.75，故C错误；
对于D,2000名男生中体重超过75 kg的人数大约为2000×5×0.02＝200，故D正确．
(2)(2022·张家口模拟)2021年11月10日，中国和美国在联合国气候变化格拉斯哥大会期间发布《中美关于在21世纪20年代强化气候行动的格拉斯哥联合宣言》(以下简称《宣言》)．承诺继续共同努力，并与各方一道，加强《巴黎协定》的实施，双方同意建立“21世纪20年代强化气候行动工作组”，推动两国气候变化合作和多边进程．为响应《宣言》要求，某地区统计了2020年该地区一次能源消费结构比例，并规划了2030年一次能源消费结构比例，如图所示：
经测算，预估该地区2030年一次能源消费量将增长为2020年的2.5倍，预计该地区(　　)
A．2030年煤的消费量相对2020年减少了
B．2030年天然气的消费量比2020年的消费量增长了5倍
C．2030年石油的消费量相对2020年不变
D．2030年水、核、风能的消费量是2020年的7.5倍
答案　D
解析　设2020年该地区一次能源消费总量为a，
2020年煤的消费量为0.6a，规划2030年煤的消费量为a×2.5×0.3＝0.75a>0.6a，故A错误；
2020年天然气的消费量为0.1a，规划2030年天然气的消费量为a×2.5×0.2＝0.5a，增长了0.4a＝4·0.1a，增长了4倍，故B错误；
2020年石油的消费量为0.2a，规划2030年石油的消费量为a×2.5×0.2＝0.5a>0.2a，故C错误；
2020年水、核、风能的消费量为0.1a，规划2030年水、核、风能的消费量为a×2.5×0.3＝0.75a＝7.5×0.1a，故D正确．
规律方法　利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数．
在频率分布直方图中：
(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即众数．
(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和相等．
(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．
跟踪演练1　(1)(2022·兰州模拟)2021年7月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》．各地积极推进“双减”工作，义务教育阶段学生负担得到有效减轻．下表是某校七年级10名学生“双减”前后课外自主活动时间的随机调查情况(单位：小时).
学生编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
“双减”前
1.3
1.2
1.5
1.6
1.2
1.3
1.5
1.1
1.1
1
“双减”后
1.5
2.5
2
3
1.5
2
2.4
0.9
1.4
1.2
设“双减”前、后这两组数据的平均数分别是1，2，标准差分别是s1，s2，则下列关系正确的是(　　)
A.2＝1＋0.56，s1<s2
B.2＝1＋0.56，s1>s2
C.2＝1＋0.65，s1<s2
D.2＝1＋0.65，s1>s2
答案　A
解