人教2023年高考数学二轮复习(全国版理) 第1部分 专题突破 专题5 培优点7　概率与统计的创新问题.docx

培优点7　概率与统计的创新问题
概率与统计问题在近几年的高考中背景取自现实，题型新颖，综合性增强，难度加深，主要考查学生的阅读理解能力和数据分析能力．要从已知数表、题干信息中经过阅读分析判断获取关键信息，搞清各数据、各事件间的关系，建立相应的数学模型求解．
考点一　概率和数列的综合
例1　某商城玩具柜台五一期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送节日礼物，现有甲、乙两个系列盲盒，每个甲系列盲盒可以开出玩偶A1，A2，A3中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶B1，B2中的一个．
(1)记事件En：一次性购买n个甲系列盲盒后集齐玩偶A1，A2，A3玩偶；事件Fn：一次性购买n个乙系列盲盒后集齐B1，B2玩偶．求概率P(E5)及P(F4)；
(2)某礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒．通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为，前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；如此往复，记某人第n次购买甲系列的概率为Qn.
①求{Qn}的通项公式；
②若每天购买盲盒的人数约为100，且这100人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个．
解　(1)若一次性购买5个甲系列盲盒，得到玩偶的情况总数为35，集齐A1，A2，A3玩偶，则有两种情况：
①其中一个玩偶3个，其他两个玩偶各1个，则有CCA种结果；
②其中两个玩偶各2个，另外一个玩偶1个，则有CCC种结果，
故P(E5)＝＝＝＝；
若一次性购买4个乙系列盲盒，全部为B1与全部为B2的概率相等，均为，
故P(F4)＝1－－＝.
(2)①由题可知，Q1＝，
当n≥2时，
Qn＝Qn－1＋(1－Qn－1)＝－Qn－1，
则Qn－＝－，Q1－＝，
即是以为首项，以－为公比的等比数列．
所以Qn－＝×n－1，
即Qn＝＋×n－1.
②因为每天购买盲盒的100人都已购买过很多次，所以对于每一个人来说，某一天来购买盲盒时，可看作n→＋∞，所以其购买甲系列的概率近似于，
假设用ξ表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则ξ～B，
所以E(ξ)＝100×＝40，即购买甲系列盲盒的人数的均值为40，所以礼品店应准备甲系列盲盒40个，乙系列盲盒60个．
规律方法　本题的关键是通过审题，找到第n次购买与前一次购买之间的联系，从而找到数列的递推关系．
跟踪演练1　(2022·青岛模拟)规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回地任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球都是白球，则该轮记为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功．
(1)某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验的轮次数为随机变量X，求X的分布列和均值；
(2)为验证抽球试验成功的概率不超过，有1 000名数学爱好者独立地进行该抽球试验，记t表示成功时抽球试验的轮次数，y表示