人教版微专题 多项式积的展开式 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练.docx

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微专题：多项式积的展开式
【考点梳理】
1. 二项式定理
概念
公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)叫做二项式定理.
二项式
系数
各项的系数C(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数.
通项
Can－kbk叫做二项展开式的通项，是展开式中的第k＋1项，可记做Tk＋1＝Can－k·bk(k＝0，1，2，…，n).
二项
展开式
Can＋Can－1b1＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)叫做(a＋b)n的二项展开式.
2. 对于两个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合定义求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏.
3 求三项展开式中某些特定项的系数的方法：①两次利用二项式定理的通项公式求解；②由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量.
4. 某些三项或三项以上的展开问题，根据式子的特点，可通过变形转化为二项式，再用二项式定理求解. 转化的方法通常为配方、因式分解.
【典例剖析】
典例1．的展开式的常数项为（       ）
A．6 B．10 C．15 D．16
典例2．在的展开式中的系数为___________.
典例3．已知的展开式中各项系数的和为，则该展开式中x的系数为_________
典例4．的展开式中，项的系数为___________．
典例5．用二项式定理展开下列各式：
(1)；
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(2)．
【巩固训练】
一、单选题
6．的展开式中的常数项为（       ）
A．40 B．60 C．80 D．120
7．的展开式中，常数项为（       ）
A．2 B．6 C．8 D．12
8．的展开式中的常数项为（       ）
A．10 B． C． D．
二、填空题
9．的展开式中的常数项为_____．（用数字作答）
10．展开式的常数项为 ________.
11．的展开式中的常数项为___________.
12．设，其中，且，若，则=_____
13．的展开式中各项系数之和为，则该展开式中的系数为___________.
14．(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中的项数为________．
15．乘积展开后，共有________项；
16．已知，若，则________.
17．求值：__________．
18．的展开式中，的系数为______.
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三、解答题
19．已知从的展开式的所有项中任取两项的组合数是21 .
（1）求展开式中所有二项式系数之和(用数字作答)；
（2）若展开式中的常数项为，求的值.
20．已知.
(1)记其展开式中常数项为，当时.求的值；
(2)证明:在的展开式中，对任意，与的系数相同.
21．已知数列的通项公式为，，记.
（1）求，的值；
（2）是否存在实数，使得对任意，恒成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.
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参考答案
1．D
【分析】先根据二项展开式通项公式求含系数，再根据多项式法则求常数项.
【详解】由题意得的展开式的通项为，
令，则，
所以的展开式的常数项为.
故选：D.
【点睛】本题考查二项式定理应用，考查基本分析求解能力，属基础题.
2．6
【分析】把按照二项式定理展开，可得的展开式中的系数．
【详解】，
展开式中含的项为
故它的展开式中的系数为6，
故答案为：6
3．
【分析】令，求得a，再利用通项公式求得x项求解.
【详解】解：因为的展开式中各项系数的和为，
所以令，得，
解得，
所以二项式为，
则展开式中含x的项为，
故x的系数为-120，
故答案为：
4．210
【分析】先把用二项展开式写出，再从中寻找含的项.
【详解】因为
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所以含有项的为.
所以的展开式中，含项的系数为210.
故答案为：210.
5．(1)；
(2).
【分析】（1）直接利用二项式定理求解；
（2）先化简原式为，再利用二项式定理求解.
(1)
解：
．
(