人教版专题2-4 导数证明不等式归类（讲+练）-2023年高考数学二轮复习讲练测（全国通用）（解析版）.docx

专题2-4 导数证明不等式归类
目录
讲高考 1
题型全归纳 5
【题型一】 5
【题型二】 8
【题型三】 8
【题型四】 13
【题型五】 15
【题型七】 18
【题型八】 20
【题型九】 22
【题型十】 24
【题型十一】 26
专题训练 34
讲高考
1.已知函数．
(1)若，求a的取值范围；
(2)证明：若有两个零点，则．
2022年高考全国甲卷数学（理）真题
【答案】(1)(2)证明见的解析【分析】（1）由导数确定函数单调性及最值，即可得解；（2）利用分析法，转化要证明条件为，再利用导数即可得证.
【详解】（1）[方法一]：常规求导
的定义域为，则
令,得当单调递减当单调递增，若,则,即所以的取值范围为
[方法二]：同构处理
由得：令，则即
令，则故在区间上是增函数
故，即所以的取值范围为
（2）[方法一]：构造函数
由题知,一个零点小于1,一个零点大于1，不妨设要证,即证
因为,即证又因为,故只需证
即证即证
下面证明时，设，
则
设
所以,而所以,所以所以在单调递增
即,所以令
所以在单调递减
即,所以；综上, ,所以.
[方法二]：对数平均不等式
由题意得：令，则，
所以在上单调递增，故只有1个解
又因为有两个零点，故
两边取对数得：，即
又因为，故，即下证
因为
不妨设，则只需证
构造，则
故在上单调递减故，即得证
【点睛】关键点点睛 ：本题是极值点偏移问题，关键点是通过分析法，构造函数证明不等式这个函数经常出现，需要掌握
2.已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，，求a的取值范围；
(3)设，证明：．
2022年新高考全国II卷数学真题
【答案】(1)的减区间为，增区间为.(2)(3)见解析
【分析】（1）求出，讨论其符号后可得的单调性.
（2）设，求出，先讨论时题设中的不等式不成立，再就
结合放缩法讨论符号，最后就结合放缩法讨论的范围后可得参数的取值范围.
（3）由（2）可得对任意的恒成立，从而可得对任意的恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.
【详解】（1）当时，，则，当时，，当时，，
故的减区间为，增区间为.
（2）设，则，又，设，
则，若，则，因为为连续不间断函数，
故存在，使得，总有，故在为增函数，故，
故在为增函数，故，与题设矛盾.若，则，
下证：对任意，总有成立，证明：设，故，
故在上为减函数，故即成立.由上述不等式有，故总成立，即在上为减函数，所以.
当时，有，    所以在上为减函数，所以.
综上，.
（3）取，则，总有成立，令，则，
故即对任意的恒成立.所以对任意的，有，
整理得到：，故
，
故不等式成立.
3.已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设，讨论函数在上的单调性；
(3)证明：对任意的，有．
2022年新高考北京数学高考真题
【答案】(1)
(2)在上单调递增.
(3)证明见解析
【分析】（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；
（2）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；
（3）令，，即证，由第二问结论可知在[0,+∞）上单调递增，即得证.
【详解】（1）解：因为，所以，
即切点坐标为，
又，
∴切线斜率
∴切线方程为：
（2）解：因为，    
所以，
令，
则，
∴在上单调递增，
∴
∴在上恒成立，
∴在上单调递增.
（3）解：原不等式等价于，
令，，
即证，
∵，
，
由（2）知在上单调递增，
∴，
∴
∴在上单调递增，又因为，
∴，所以命题得证.
4.已知，函数．设，记曲线在点处的切线为l．
(1)求l的方程；
(2)设l与x轴交点为．证明：
①；②若，则．
2002年普通高等学校招生考试数学（理）试题（新课标）
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【分析】（1）直接利用导数求出切线方程；（2）①求出，由的范围即可求出；②利用不等式的性质直接证明.
【详解】（1）函数的导函数为.
所以曲线在点处的切线为l：，即.
（2）由（1）得：切线方程为，令，解得：，其中.
①由及可得：.
而（当且仅当时等号成立），
所以；
②当时，有，所以.
且由①可得：，所以.即证.
题型全归纳
【题型一】不等式证明基础思维
【讲题型】
例题1.已知函数的图象在点处的切线方程为.
（1）求在内的单调区间.
（2）设函数，证明：.
【答案】
（1）单调递减区间为，单调递增区间为