人教版专题06 等差数列与等比数列（解析版）.docx

专题06 等差数列与等比数列
一、核心先导
二、考点再现
【考点1】等差数列
1、等差数列的判断方法：定义法或
2、等差数列的通项：或。
①当时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；
3、等差数列的前和：，。
①前和是关于的二次函数且常数项为0.
4、等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且。
①当时,则有，特别地，当时，则有.
5、若是等差数列 ， ，…也成等差数列.
【考点2】等比数列
1.等比数列的定义--------（证明或判断等比数列），
2.等比数列的通项公式：或。
3．等比数列的前和：
①当时，；②当时，。
4、等比中项：
⑴、若成等比数列，那么A叫做与的等比中项，A2=ab。
⑵、当时，则有am∙an=ap∙aq。
5、若是等比数列 ， ，…也成等比数列.
三、解法解密
等差数列与等比数列作为两种基本的数列,是高考中数列考查的重中之重,值得关注 . 考查的形式主要有等差数列、等比数列的实际应用以及等差数列、等比数列与其他知识的综合 . 在复****中,要紧抓以下几个方面 :
方法1. 关注两种基本方法:研究等差数列、等比数列的基本方法就是“基本量法”及活用好它们的“对称性”;
方法2. 领悟等差数列、等比数列的两类本质:等差数列、等比数列是两类特殊数列,又是两类特殊的函数,这种双重身份,注定它们必然是高考中的重点、难点,故而,学****中,要从“函数”及“数列”这两个方面来认识它们;
方法3. 两类数学思想:分类讨论思想以及函数与方程的思想是解决数列问题所经常使用的两类数学思想
四、考点解密
题型一:等差数列与等比数列基本量的计算
例1．（1）、（2022·四川省遂宁市教育局模拟预测（文））若为等差数列，是数列的前项和，，，则等于（    ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【分析】根据题意，设等差数列的公差为，进而建立方程组求解得，再计算即可.
【详解】解：根据题意，设等差数列的公差为，
因为，
所以，解得，
所以.
故选：D
（2）、（2022·福建福州·高二期末）（多选题）已知等差数列的公差为d，前n项和为，．则（ ）
A． B．
C． D．取得最大值时，
【答案】ABC
【解析】
【分析】
利用基本量代换，求出通项公式，即可验证A、B、C；由通项公式判断出时，，，时，可以得到最大，即可判断选项D.
【详解】
因为，所以，解得：，故选项A、B正确；
所以.
对于C：因为，所以，故C正确；
对于D：因为，所以.
因为时，；时，；所以最大.故D错误.
故选：ABC
【变式训练1-1】、（2022·四川·宜宾市叙州区第二中学校模拟预测（文））已知等比数列中，，，则______．
【答案】6
【分析】由等比数列的性质求解即可
【详解】由等比数列的性质可得：，
由等比数列中奇数项的符号相同，
所以，
故答案为：6
【变式训练1-2】、（2021·云南·模拟预测（文））已知为等差数列，为其前n项和．若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意得等差数列的公差为，再根据通项公式求解即可.
【详解】
解：设等差数列的公差为，因为
所以，解得，
所以，所以．
故答案为：
题型二:等差中项与等比中项的应用
例2．（1）、（2022·山东泰安·模拟预测）若等差数列满足，则它的前13项和为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据等差数列的通项公式及前项和公式即可求解.
【详解】设等差数列的首项为，公差为，则
因为，所以，即.
所以.
故选：B.
（2）．（2022·河南焦作·一模（文））设和都是等差数列，前项和分别为和，若
，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用等差数列的性质分别求得，，再利用等差数列前n项和公式求解.
【详解】
由等差数列的性质可得，
所以；
因为，
所以．
由等差数列的前项和公式可得，，
所以．
故选：A
【变式训练2-1】、（2022·安徽黄山·一模（文））在等比数列中，，是方程的两根，则的值为（    ）
A． B．3 C． D．
【答案】B
【分析】利用韦达定理可得，，从而得到，，即可得到，再根据等比数列下标和性质计算可得.
【详解】因为､是方程的两根，所以，，
所以，，又为等比数列，则，
所以，所以或（舍去），
所以.
故选：B.
【变式训练