人教版专题07 求数列的通项公式（解析版）.docx

专题07 求数列的通项公式
一、核心先导
二、考点再现
【考点1】已知前你n项和，求通项公式的步骤
(1) 、当n＝1时，a1＝S1；(2) 、当n≥2时，an＝Sn－Sn－1；(3)对n＝1时的情况进行检验，若适合n≥2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式．
【考点2】已知数列的前几项，求通项公式
如果符号正负相间，则符号可用(－1)n或 (－1)n＋1来调节.
分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系来解决.
对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决.
此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化为等差、等比或其他特殊数列)等方法来解决.
【考点3】已知数列的递推关系，求通项公式
当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列；
当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列；
当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解；当出现＝f(n)时，用累乘法求解．
三、解法解密
若数列满足，则数列都是公差为a的等差数列，若数列满足，则数列都是公比为b的等比数列.
四、考点解密
题型一:公式法
例1、（2022·全国·武功县普集高级中学模拟预测（理））记为各项均为正数的等比数列的前n项和，，，则（    ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据题意求出数列的首项和公比，即可根据通项公式求得答案.
【详解】由为各项均为正数的等比数列，且，,
设数列公比为 ,可得 ，且，则，
解得 ，
故 ,
故选：D.
【变式训练1-1】、（2022·广西·模拟预测（理））在等比数列中，若，则___________.
【答案】24
【分析】根据的值，利用等比数列的性质计算求得，进而求得.
【详解】设公比为，有，可得.
故答案为：24
例2、（2022·浙江台州·模拟预测）已知公差为2的等差数列中，，，成等比数列.
(1)求；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意，用表示，求解即可；
（2）结合等差、等比求和公式，分组求和即可.
【详解】（1）因为，，成等比数列，所以，
又因为等差数列的公差为2，
所以，
解得，
所以；
（2）由题意，
由于，故为以为首项，公比为4的等比数列，
所以
.
【变式训练2-1】、（2022·上海松江·二模）在等差数列中，已知，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等差数列的公差为，由可得，从而求出与的值即可求出的通项公式；
（2）由（1）可知，则，从而利用分组求和即可求出．
【详解】（1）解：设等差数列的公差为，
由，得，解得，
所以；
（2）解：由（1）可知，则，
所以．
题型二:累加法与累乘法
(一) 、用累加法求数列的通项公式
例3、（2022·上海市控江中学高二期末）己知数列满足，则其通项公式________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用累加法即可求出数列的通项公式.
【详解】
因为，所以，
所以，，，…，，
把以上个式子相加，得，
即，所以.
故答案为：.
【变式训练3-1】、在数列中, ,,则该数列的通项公式= ．
【分析】题目已知条件是,且）形式,用叠加原理求解.
【解析】因为,所以运用累加法即可得到：,所以,故应填．
【点评】当,且）满足一定条件时,可用…
来求通项,这种方法通常叫累加法. 本题用到裂项相消求和,相消时应注意消去的项规律,及消去哪些项,保留哪些项,于是前项的和变成首尾若干少数项之和.还有不少同学会出现的错误,认为或是常数,实际上或是个变量,变化随之改变.
【变式训练3-2】、（2022·浙江柯桥·高二期末）已知等差数列中，，前5项的和为，数列满足，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和．
【答案】(1)，；
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用等差数列求和公式可得，进而可得，再利用累加法可求，即得；
（2）由题可得，然后利用分组求和法即得.
(1)
设公差为d，由题设可得，
解得，
所以；
当时，
，
∴，
当时，（满足上述的），
所以．
(2)
∵．
当时，
．
当时，
．
综上所述：．
(二) 、用累乘法求数列的通项公式
例4、（2022·安