人教第01讲 极坐标与参数方程（练）（解析版）.docx

第01讲 极坐标与参数方程
一、解答题
1．在直角坐标系中，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系.已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）
(1)求曲线的参数方程与直线的普通方程；
(2)设点P为曲线C上的动点，点M和点N为直线上的点，且,求面积的取值范围
【答案】(1)答案见解析；
(2).
【分析】（1）由极坐标与直角坐标的互化公式即可求得曲线的直角坐标方程，进而可得椭圆的参数方程，直线参数方程消参即得普通方程；
（2）由点到直线距离公式的范围即可求得三角形面积的取值范围.
【详解】（1）由得：，
又因为，即得，
化简得：，
故曲线的参数方程为：（为参数），
由，消参可得：，
直线的普通方程为：.
（2）设，
则点到直线的距离，
当时，有最小值，
当时，有最大值，
而，所以.
故
2．已知圆与直线交于两点，点为线段的中点，为坐标原点，直线的斜率为．
(1)求的值及的面积；
(2)若圆与轴交于两点，点是圆上异于的任意一点，直线，分别交于两点．当点变化时，以为直径的圆是否过圆内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由．
【答案】(1)，面积为
(2)以为直径的圆过圆内的一定点
【分析】（1）先通过直线，直线联立解出的坐标，利用垂径定理得到垂直关系，通过的斜率求出，再次利用垂径定理算出线段长，点到直线的距离求高，得到的面积；
（2）利用在上可设圆，表示出直线后，求出的坐标，表示出以为直径的圆的方程，最后求该圆经过的定点.
【详解】（1）直线的斜率为，于是直线的方程为，和联立，解得交点，由垂径定理可得，故，故，解得，又，由点到直线的距离公式，故，到距离为，故面积为：
（2）设，，不妨设，故，故的方程为：；，故的方程为：，令分别带入，直线方程可得，，，设为以
为直径的圆上的任意点，则，即，部分展开得，  ，即，令，则，解得或，变动时，即该圆经过定点，又，，故以为直径的圆过圆内的一定点

3．在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（其中为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，设点，曲线交于，求的值.
【答案】
【分析】解法1：曲线均化为普通方程，联立求交点坐标，再代入距离公式计算；
解法2：曲线均化为普通方程，联立用韦达定理表示，再整体代入距离公式计算；
解法3：曲线化为普通方程，坐标以及可用曲线的参数表示，代入的普通方程整体求解.
【详解】解法1：


  设
，  
   
解法2：（前面转化方程，联立方程同思路一）设，

           
           
由得

解法3：设，则有，，则有
代入到中可得：
所以是方程的两根，整理可得：
   
4．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）．
(1)求直线与曲线的普通方程，并说明是什么曲线？
(2)设M，N是直线与曲线的公共点，点的坐标为，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）消去参数即可得到直线与曲线的普通方程即可说明曲线.
（2）将直线参数方程代入圆的普通方程即可得到与，根据参数的几何意义讨论求得的值.
【详解】（1）由题意可得：直线l的参数方程为消去参数
得：.
曲线的参数方程为.消去参数
得：
曲线表示以原点为圆心，以为半径的圆.
（2）由（1）知：将直线的参数方程代入
得：  
可知，，故与异号. 不妨设 ,
易知，故=
=
同理，
易知，故=
= 综上：
5．数学中有许多美丽的曲线，如在平面直角坐标系xOy中，曲线的形状如心形（如图），称这类曲线为心形曲线．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．当时，
(1)求E的极坐标方程；
(2)已知P，Q为曲线E上异于O的两点，且，求的面积的最大值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）将，代入曲线E，化简可得答案；
（2）不妨设，，，，则的面积，令，可得，再利用配方计算可得答案.
【详解】（1）将，代入曲线E，
得，即，
所以，E的极坐标方程为；
（2）不妨设，，
即，，
则的面积
，
由于，
令，则，，
则，
故当时，，
即的面积的最大值为．
6．在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的参数为（为参数）．
(1)求曲线和直线的直角坐标方程；
(2)过原点引一条射线分别交曲线和直线于、两点，求的最大值．