人教第4章 三角函数、解三角形 第3节　三角恒等变换 第二课时　简单的三角恒等变换.docx

第二课时　简单的三角恒等变换
考点一　三角函数式的化简
1.·等于(　　)
A.－sin α B.－cos α
C.sin α D.cos α
答案　D
解析　原式＝
＝＝cos α.
2.化简：2＋等于(　　)
A.2cos 2 B.2sin 2
C.4sin 2＋2cos 2 D.2sin 2＋4cos 2
答案　B
解析　2＋
＝2＋
＝2＋
＝2|sin 2＋cos 2|＋2|cos 2|.
∵<2<π，∴cos 2<0，
∵sin 2＋cos 2＝sin，0<2＋<π，
∴sin 2＋cos 2>0，
∴原式＝2(sin 2＋cos 2)－2cos 2＝2sin 2.
3.化简：(－tan )·＝________.
答案　
解析　(－tan )·(1＋tan α·tan )
＝(－)·(1＋·)
＝·
＝·＝.
感悟提升　1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征.
2.三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.
考点二　三角函数式的求值
角度1　给角求值
例1 (1)的值为(　　)
A.1 B. C. D.2
(2)cos 20°·cos 40°·cos 100°＝________.
答案　(1)C　(2)－
解析　(1)原式＝
＝＝＝.
(2)cos 20°·cos 40°·cos 100°
＝－cos 20°·cos 40°·cos 80°
＝－
＝－
＝－＝－
＝－＝－.
角度2　给值求值
例2 (1)(2021·哈尔滨模拟)若sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则的值为(　　)
A.－3 B.－ C. D.3
(2)(2022·武汉检测)已知＝－，则cos＝(　　)
A. B.－ C.－ D.
答案　(1)A　(2)B
解析　(1)因为sin α＋cos α＝，
所以sin2α＋cos2α＝sin2α＋＝1，
可得25sin2α－5sin α－12＝0，
解得sin α＝或－.
又因为α∈(0，π)，所以sin α＝，
所以cos α＝－＝－，
则＝
＝
＝＝＝－3，故选A.
(2)＝
＝－2sin＝－，
故sin＝.
而sin＝sin
＝cos＝，
所以cos＝2cos2－1
＝－1＝－.
角度3　给值求角
例3 (1)已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，则β＝________.
(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________.
答案　(1)　(2)－
解析　(1)∵0<β<α<，∴0<α－β<，
sin α＝.
又cos(α－β)＝，
∴sin(α－β)＝＝.
∴cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝.
又0<β<，∴β＝.
(2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]
＝
＝＝>0，
又α∈(0，π)，∴0<α<，
又∵tan 2α＝＝＝>0，
∴0<2α<，
∴tan(2α－β)＝＝＝1.
∵tan β＝－<0，
∴<β<π，－π<2α－β<0，
∴2α－β＝－.
感悟提升　1.给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解.
2.给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可.
3.给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；(2)若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好.
训练1 (1)(2021·许昌模拟)计算所得的结果为(　　)
A.1 B. C. D.2
(2)(2022·新高考五省五校联考)已知α∈，sin＝，则tan α＝________.
(3)已知α，β均为锐角，cos α＝，sin β＝，则cos 2α＝______，2α－β＝______.
答案　(1)C　(2)3＋2　(3)　
解析　(1)
＝
＝＝，故选C.
(2)∵α∈，∴α－∈，
∵s