人教第5章 平面向量与复数 第2节　平面向量基本定理及坐标表示.docx

第2节　平面向量基本定理及坐标表示
考试要求　1.了解平面向量基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
1.平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
2.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
3.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，
|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＝(x2－x1，y2－y1)，
||＝.
4.平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
1.平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然.
2.若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.(　　)
(2)设a，b是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　)
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成＝.(　　)
(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
解析　(1)共线向量不可以作为基底.
(3)若b＝(0，0)，则＝无意义.
2.若P1(1，3)，P2(4，0)，且P是线段P1P2的一个三等分点(靠近点P1)，则点P的坐标为(　　)
A.(2，2) B.(3，－1)
C.(2，2)或(3，－1) D.(2，2)或(3，1)
答案　A
解析　由题意得＝且＝(3，－3)，
设P(x，y)，则(x－1，y－3)＝(3，－3)，
所以x＝2，y＝2，则点P(2，2).
3.(2021·银川质检)设向量a＝(－3，4)，向量b与向量a方向相反，且|b|＝10，则向量b的坐标为(　　)
A. B.(－6，8)
C. D.(6，－8)
答案　D
解析　因为向量b与a方向相反，则可设b＝λa＝(－3λ，4λ)，λ<0，则|b|＝＝5|
λ|＝10，∴λ＝－2，b＝(6，－8).
4.(易错题)给出下列三个向量：a＝，b＝(1，－3)，c＝(－2，6).从三个向量中任意取两个作为一组，能构成基底的组数为________.
答案　2
解析　易知b∥c，a与b不共线，a与c不共线，所以能构成基底的组数为2.
5.(易错题)已知A(－1，3)，B(2，－1)，则与向量共线的单位向量是________.
答案　±
解析　∵＝(2，－1)－(－1，3)＝(3，－4)，∴||＝5.故与向量共线的单位向量坐标为±.
6.(2021·全国乙卷)已知向量a＝(2，5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝________.
答案　
解析　法一(定义法)　因为a∥b，所以存在实数k，使a＝kb，即(2，5)＝k(λ，4)，得解得
法二(结论法)　因为a∥b，所以2×4－5λ＝0，解得λ＝.
考点一　平面向量的坐标运算
1.(2021·西安调研)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，＝，若绕点O逆时针旋转60°得到向量，则＝(　　)
A.(0，1) B.(1，0)
C. D.
答案　A
解析　∵＝，∴与x轴的夹角为30°，
依题意，向量与x轴的夹角为90°，
则点B在y轴正半轴上，且||＝||＝1，
∴点B(0，1)，则＝(0，1).
2.(2022·成都诊断)如图，原点O是△ABC内一点，顶点A在x轴上，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，||＝2，||＝1，||＝3，若＝λ＋μ，则＝(　　)
A.－ B. C.－ D.
答案　D
解析　由三角函数定义，易知A(2，0)，B，C(3cos 240°，3sin 240°)，
即C.
因为＝λ＋μ，
所以＝