人教第9章 平面解析几何 高考难点突破课2　圆锥曲线的综合问题 第三课时　最值、范围问题.docx

第三课时　最值、范围问题
题型一　距离与面积的最值(范围)
例1 已知椭圆C：＋＝1(a>)的右焦点F到左顶点的距离为3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设O为坐标原点，过点F的直线与椭圆C交于A，B两点(A，B不在x轴上)，若＝＋，延长AO交椭圆于点G，求四边形AGBE的面积S的最大值.
解　(1)由已知得b2＝3，a＋c＝3，a2＝b2＋c2.
联立以上3个式子，可得a2＝4，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)法一　因为过F(1，0)的直线与椭圆C交于A，B两点(A，B不在x轴上)，所以设l的方程为x＝ty＋1，
由得(3t2＋4)y2＋6ty－9＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
因为＝＋，
所以四边形AOBE为平行四边形，
所以S＝S▱AOBE＋S△OGB＝3S△AOB
＝|y1－y2|
＝＝.
令＝m，则m≥1，
S＝＝.
由函数的单调性易得当m＝1，即t＝0时，Smax＝.
法二　由＝＋知四边形AOBE为平行四边形.
所以S＝S▱AOBE＋S△OGB＝3S△AOB.
当直线AB的斜率不存在时，S＝3S△AOB＝.
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，k≠0.
由得
(4k2＋3)y2＋6ky－9k2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
得
所以S＝3S△AOB＝|y1－y2|
＝＝.
令4k2＋3＝m，则m>3，
S＝<.
综上知，四边形AGBE的面积S的最大值Smax＝.
感悟提升　1.本题求四边形AGBE面积的最值，首先分割，借助三角形面积转化为函数的最值问题；求解最值应用了两个技巧：一是换元，运用函数的性质；二是利用已知或隐含的不等关系构造不等式求解.
2.若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质数形结合求解.
训练1 (2022·南宁模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，右顶点M到左焦点的距离为3，直线l与椭圆C交于点A，B.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线MA，MB的斜率为k1，k2.若4k1k2＋9＝0，求|AB|的最小值.
解　(1)设椭圆的半焦距为c，
由题意得解得∴b＝，
∴椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)由题意知，直线l的斜率不为0，
设其方程为x＝my＋n，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(3m2＋4)y2＋6mny＋3n2－12＝0，
∴y1＋y2＝－，y1y2＝，
Δ＝(6mn)2－4(3m2＋4)(3n2－12)
＝48(3m2－n2＋4)>0.
由(1)知M(2，0)，则直线MA，MB的斜率分别为k1＝，k2＝，
∴k1k2＝
＝
＝
＝
＝＝＝－，解得n＝1.
∴直线l的方程为x＝my＋1，直线l过定点(1，0)，
此时，y1＋y2＝－，y1y2＝，
∴|AB|＝|y1－y2|
＝·
＝
＝·
＝＝4·
＝4≥3(当且仅当m＝0时取等号)，
∴|AB|的最小值为3.
题型二　斜率或某些参数(式子)的最值(范围)
例2 (2021·兰州诊断)已知抛物线y2＝4x及点P(4，0).
(1)以抛物线的焦点F为圆心，|FP|为半径作圆，求圆F与抛物线交点的横坐标；
(2)若A，B是抛物线上不同的两点，且直线AB与x轴不垂直，弦AB的垂直平分线恰好经过点P，求·的取值范围.
解　(1)由已知得F(1，0)，
所以圆F的方程为(x－1)2＋y2＝9，
由得x2＋2x－8＝0.
解得x＝2或x＝－4.
由于x>0，所以x＝2.
则圆与抛物线交点的横坐标为2.
(2)设弦AB的中点为M，A，
B，M(x0，y0)，
则x0＝，y0＝，
设线段AB的垂直平分线的方程为
y＝k(x－4)(k≠0)，
则直线AB的斜率
kAB＝＝＝＝－，
∴y0＝－2k.
∵点M在弦AB的垂直平分线上，
∴y0＝k(x0－4)(k≠0)，∴x0＝2.
则直线AB的方程为k(y－y0)＝2－x，
由得ky－ky0＝2－，
即y2＋4ky＋8k2－8＝0，
∴Δ＝16k2－32k2＋32＝－16k2＋32>0，
∴0<k2<2.
∵y1＋y2＝－4k，y1y2＝8k2－8，
∴·＝＋y1y2
＝－(y＋y)＋1＋y1y2
＝4(k2－1)2－4＋1＋8k2－8
＝4k4－7，
∴·的取值范围是(－7，9).
感悟提升　圆锥曲线中求解含双变量的式子的取值范围的方法：几何条件定代换；目标关系式求范围.
训练2 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，直线x＋y－1＝0被以椭圆C的