人教第12章 选考部分 第1节　坐标系与参数方程 第一课时　坐标系.docx

第1节　坐标系与参数方程
第一课时　坐标系
考试要求　1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化；3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.
1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.
2.极坐标系与点的极坐标
(1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O(极点)，自极点O引一条射线Ox(极轴)；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.
(2)极坐标
①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ.
②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角∠xOM叫做点M的极角，记为θ.
③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ).
3.极坐标与直角坐标的互化
点M
直角坐标(x，y)
极坐标(ρ，θ)
互化公式
ρ2＝x2＋y2，
tan θ＝(x≠0)
4.常见曲线的极坐标方程
曲线
图形
极坐标方程
圆心在极点，半径为r的圆
ρ＝r(0≤θ＜2π)
圆心为(r，0)，半径为r的圆
ρ＝2rcos__θ
圆心为，半径为r的圆
ρ＝2rsin__θ(0≤θ＜π)
过极点，倾斜角为α的直线
①θ＝α(ρ∈R)或
θ＝π＋α(ρ∈R)
②θ＝α(ρ≥0)和
θ＝π＋α(ρ≥0)
过点(a，0)，与极轴垂直的直线
ρcos__θ＝a
过点，与极轴平行的直线
ρsin__θ＝a(0＜θ＜π)
1.极坐标的四要素：(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一不可.
2.由极径的意义知ρ≥0，当极角θ的取值范围是[0，2π)时，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系，约定极点的极坐标是极径ρ＝0，极角可取任意角.
3.曲线的极坐标方程与直角坐标方程互化：对于简单的可以直接代入公式ρcos θ＝
x，ρsin θ＝y，ρ2＝x2＋y2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同乘以ρ等.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系.(　　)
(2)若点P的直角坐标为(1，－)，则点P的一个极坐标是.(　　)
(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的.(　　)
(4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
解析　(1)一般认为ρ≥0，当θ∈[0，2π)时，平面上的点(除去极点)才与极坐标建立一一对应关系；(4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条射线.
2.(易错题)在极坐标系中，已知点P，则过点P且平行于极轴的直线方程是(　　)
A.ρsin θ＝1 B.ρsin θ＝
C.ρcos θ＝1 D.ρcos θ＝
答案　A
解析　先将极坐标化成直角坐标表示，P转化为直角坐标为x＝ρcos θ＝
2cos ＝，y＝ρsin θ＝2sin ＝1，
即(，1)，过点(，1)且平行于x轴的直线为y＝1，
再化为极坐标为ρsin θ＝1.
3.若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为(　　)
A.ρ＝，0≤θ≤
B.ρ＝，0≤θ≤
C.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤
D.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤
答案　A
解析　∵y＝1－x(0≤x≤1)，
∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)，
∴ρ＝.
4.在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是(　　)
A. B.
C.(1，0) D.(1，π)
答案　B
解析　由ρ＝－2sin θ得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，
即x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为.
5.(易错题)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C的直角坐标方程为________.
答案　x2＋(y－1)2＝1
解析　由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsi