人教第32节 圆锥曲线中的定点定值问题（解析版）.docx

第32节 圆锥曲线中的定点定值问题
基本技能要落实
考点一　直线过定点问题
【例1】(2022·兰州一模)设M点为圆C：x2＋y2＝4上的动点，点M在x轴上的投影为N.动点P满足2＝，动点P的轨迹为E.
(1)求E的方程；
(2)设E的左顶点为D，若直线l：y＝kx＋m与曲线E交于A，B两点(A，B不是左、右顶点)，且满足|＋|＝|－|，求证：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标.
【解析】(1)解　设点M(x0，y0)，P(x，y)，由题意可知N(x0，0)，
∵2＝，∴2(x0－x，－y)＝(0，－y0)，
即x0＝x，y0＝y，
又点M在圆C：x2＋y2＝4上，∴x＋y＝4，
将x0＝x，y0＝y代入得＋＝1，
即轨迹E的方程为＋＝1.
(2)证明　由(1)可知D(－2，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立得得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，
Δ＝(8mk)2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝16(12k2－3m2＋9)＞0，
即3＋4k2－m2＞0，∴x1＋x2＝，x1x2＝.
y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝.
∵|＋|＝|－|，∴⊥，
即·＝0，
即(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2＝0，
∴＋2×＋4＋＝0，
∴7m2－16mk＋4k2＝0，
解得m1＝2k，m2＝k，且均满足3＋4k2－m＞0.
当m＝2k时，l的方程为y＝kx＋2k＝k(x＋2)，
直线恒过点(－2，0)，与已知矛盾；
当m＝k时，l的方程为y＝kx＋k＝k，直线恒过点.
∴直线l过定点，定点坐标为.
【方法技巧】
圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.
(2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
【跟踪训练】
1.已知点P是椭圆C：＋＝1(a>b>0)上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，|PF1|＋|PF2|＝4.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线l不经过P点且与椭圆C相交于A，B两点.若直线PA与直线PB的斜率之和为1，问：直线l是否过定点？证明你的结论.
【解析】(1)由|PF1|＋|PF2|＝4，得a＝2，
又P在椭圆上，
代入椭圆方程有＋＝1，解得b＝，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)当直线l的斜率不存在时，A(x1，y1)，B(x1，－y1)，
k1＋k2＝＝1，解得x1＝－4，不符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程y＝kx＋m，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由整理得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
x1＋x2＝，x1x2＝，Δ＝48(4k2－m2＋3)>0.
由k1＋k2＝1，整理得(2k－1)x1x2＋(x1＋x2)＋2m－4＝0，
即(m－4k)(2m－2k－3)＝0.
当m＝k＋时，此时，直线l过P点，不符合题意；
当m＝4k时，Δ＝4k2－m2＋3>0有解，此时直线l：y＝k(x＋4)过定点(－4，0).
考点二　其他曲线过定点问题
【例2】已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是双曲线C2：－y2＝1的左、右焦点，且C1与C2相交于点.
(1)求椭圆C1的标准方程；
(2)设直线l：y＝kx－与椭圆C1交于A，B两点，以线段AB为直径的圆是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点；若不恒过定点，请说明理由.
【解析】(1)将代入－y2＝1，解得m2＝1，
∴a2＝m2＋1＝2，
将代入＋＝1，解得b2＝1，
∴椭圆C1的标准方程为＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由整理得(9＋18k2)x2－12kx－16＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝，
Δ＝144k2＋64(9＋18k2)>0.
由对称性可知，以AB为直径的圆若恒过定点，则定点必在y轴上.
设定点为M(0，y0)，则
＝(x1，y1－y0)，＝(x2，y2－y0)，
·＝x1x2＋(y1－y0)(y2－y0)
＝x1x2＋y1y2－y0(y1＋y2)＋y
＝x1x2＋k2x1x2－(x1＋x2)－y0＋＋y
＝(1＋k2)x1x2－k(x1＋x2)＋y＋y0＋
＝＝0，
∴解得y0＝1，
∴M(0，1)，
∴以线段AB为直径的圆恒过定点(0，1).
【方法技巧】
1.定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜