人教考点9-2 基本不等式及其应用(文理）-2023年高考数学一轮复习小题多维练（全国通用）（解析版）.docx

考点9-2 基本不等式及其应用
1．（2021·全国·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（       ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【答案】C
【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．
【详解】由题，，则，
所以（当且仅当时，等号成立）．
故选：C．
【点睛】
2．（2022·全国·高三专题练****已知都是正数，且，则的最小值为（       ）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【分析】利用基本不等式中“1”的妙用，令，即可求解.
【详解】由题意知，，，
则
，
当且仅当时，取最小值.
故选：C．
3．（2023·全国·高三专题练****下列说法正确的为（       ）
A．
B．函数的最小值为4
C．若则最大值为1
D．已知时，，当且仅当即时，取得最小值8
【答案】C
【分析】利用基本不等式及其对勾函数的性质分别判断即可.
【详解】对于选项,只有当时，才满足基本不等式的使用条件，则不正确；
对于选项,，令，
即在上单调递增，则最小值为,
则不正确；
对于选项,，则正确；
对于选项,当时，，当且仅当
时，即，等号成立，则不正确.
故选：.
4.（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为____________．
【答案】
【分析】两次利用基本不等式即可求出.
【详解】，
，
当且仅当且，即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
5.（2023·全国·高三专题练****若实数，满足，且，则的最大值为______.
【答案】##0.125
【分析】令，对不等式变形得到，利用基本不等式进行求解.
【详解】令，则，
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为
故答案为：
6.（2021·山东·临沂市兰山区教学研究室高三开学考试）已知为正实数且，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．3
【答案】D
【分析】由题知，再结合基本不等式求解即可.
【详解】解：因为为正实数且，
所以，
所以，
因为，当且仅当时等号成立；
所以，当且仅当时等号成立；
故选：D
7．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练****已知正实数满足，则的最小值为（       ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【分析】令，用分别乘两边再用均值不等式求解即可.
【详解】因为，且为正实数
所以
，当且仅当即时等号成立.
所以.
故选：B.
8．（2023·全国·高三专题练****设，则的最小值等于（　　）
A．2 B．4 C． D．
【答案】B
【分析】根据题意得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】因为，可得且，
所以，
当且仅当时，即等号成立，
所以的最小值为.
故选：B.
9.（2023·全国·高三专题练****若正数a，b满足1，则的最小值为__．
【答案】16
【分析】由条件可得，，代入所求式子，再由基本不等式即可求得最小值，注意等号成立的条件.
【详解】解：因为正数a，b满足1，
则有1，
则有，
1，即有，
则有16，
当且仅当即有b＝2a，又1