人教第9章 平面解析几何 第3节　圆的方程.doc

第3节　圆的方程
考试要求　掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.
　　　　　　　　　　　　　　　　
1.圆的定义和圆的方程
定义
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
方程
标准
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
圆心C(a，b)
半径为r
一般
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)
充要条件：D2＋E2－4F＞0
圆心坐标：
半径r＝
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外；
(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；
(3)|MC|＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内.
1.圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2.
2.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.(　　)
(2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆.(　　)
(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2
＋E2－4AF>0.(　　)
(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
解析　(2)当a＝0时，x2＋y2＝a2表示点(0，0)；当a＜0时，表示半径为|a|的圆.
2.圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是(　　)
A.(2，3)，3 B.(－2，3)，
C.(－2，－3)，13 D.(2，－3)，
答案　D
解析　圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径r＝.
3.(2021·合肥模拟)已知A(1，0)，B(0，3)两点，则以AB为直径的圆的方程是(　　)
A. ＋＝
B. ＋＝
C. ＋＝
D. ＋＝
答案　A
解析　|AB|＝＝，圆心为，半径r＝，
∴圆的方程为＋＝.
4.(2022·银川模拟)若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是(　　)
A.(－1，1)
B.(0，1)
C.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D.{－4，4}
答案　A
解析　因为点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，
所以表示点(1，1)到圆心(a，－a)的距离小于2，
即<2，
两边平方得：(1－a)2＋(a＋1)2<4，
化简得a2<1，解得－1<a<1.
5.(2020·北京卷)已知半径为1的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为(　　)
A.4 B.5
C.6 D.7
答案　A
解析　由平面几何知识知，当且仅当原点、圆心、点(3，4)共线时，圆心到原点的距离最小且最小值为dmin＝－1＝4.
6.(易错题)若方程x2＋y2＋λxy＋2kx＋4y＋5k＋λ＝0表示圆，则k的取值范围为________________.
答案　(－∞，1)∪(4，＋∞)
解析　根据题意，若方程x2＋y2＋λxy＋2kx＋4y＋5k＋λ＝0表示圆，则λ＝0，方程为x2＋y2＋2kx＋4y＋5k＝0，∴(2k)2＋42－4×5k>0，即k2－5k＋4>0，解得k<1或k>4，故k的取值范围为(－∞，1)∪(4，＋∞).
考点一　圆的方程
1.已知圆E经过三点A(0，1)，B(2，0)，C(0，－1)，则圆E的标准方程为(　　)
A.＋y2＝ B.＋y2＝
C.＋y2＝ D.＋y2＝
答案　C
解析　法一　(待定系数法)
设圆E的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则由题意得
解得
所以圆E的一般方程为x2＋y2－x－1＝0，即＋y2＝.
法二　(几何法)
因为圆E经过点A(0，1)，B(2，0)，所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y－＝2(x－1)上.
又圆E的圆心在x轴的正半轴上，
所以圆E的圆心坐标为.
则圆E的半径为
|EB|＝＝，
所以圆E的标准方程为＋y2＝.
2.在平面直角坐标系xOy中，以点(0，1)为圆心且与直线x－by＋2b＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为(　　)
A.x2＋(y－1)2＝4