人教2023年高考数学二轮复习(全国版理) 第1部分 专题突破 专题1 第2讲　基本初等函数、函数与方程.docx

第2讲　基本初等函数、函数与方程
[考情分析]　1.基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小、解不等式是常见题型.2.函数零点的个数判断及参数范围是常考题型，常以压轴题的形式出现.3.函数模型及应用是近几年高考的热点，通常考查指数函数、对数函数模型．
考点一　基本初等函数的图象与性质
核心提炼
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象和性质分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两种函数图象的异同．
例1　(1)(2022·杭州模拟)已知lg a＋lg b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f(x)＝ax与g(x)＝的图象可能是(　　)
答案　B
解析　∵lg a＋lg b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，
∴ab＝1，∴a＝，
∴g(x)＝＝logax，
∴函数f(x)＝ax与函数g(x)＝互为反函数，
∴函数f(x)＝ax与g(x)＝的图象关于直线y＝x对称，且具有相同的单调性．
(2)若ea＋πb≥e－b＋π－a，则下列结论一定成立的是(　　)
A．a＋b≤0 B．a－b>0
C．a－b≤0 D．a＋b≥0
答案　D
解析　∵ea＋πb≥e－b＋π－a，
∴ea－π－a≥e－b－πb，
∴ea－π－a≥e－b－π－(－b)，①
令f(x)＝ex－π－x，显然f(x)为R上的增函数，
①式即为f(a)≥f(－b)，
∴a≥－b，即a＋b≥0.
规律方法　(1)指数函数、对数函数的图象与性质受底数a的影响，解决与指数函数、对数函数有关的问题时，首先要看底数a的取值范围．
(2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化．
跟踪演练1　(1)(2022·山东名校大联考)若a＝log32，b＝log52，c＝e0.2，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．b<a<c B．c<a<b
C．b<c<a D．a<b<c
答案　A
解析　由对数函数的单调性可知
0＝log31<log32<log33＝1，
即0<a<1，且＝log23，
又0＝log51<log52<log55＝1，
即0<b<1且＝log25，
又log23<log25，
即<，所以a>b，
又根据指数函数的单调性可得c＝e0.2>e0＝1，
所以b<a<c.
(2)(2022·邯郸模拟)不等式10x－6x－3x≥1的解集为________．
答案　[1，＋∞)
解析　由10x－6x－3x≥1，
可得x＋x＋x≤1.
令f(x)＝x＋x＋x，
因为y＝x，y＝x，y＝x均在R上单调递减，
则f(x)在R上单调递减，且f(1)＝1，
所以f(x)≤f(1)，即x≥1.
故不等式10x－6x－3x≥1的解集为[1，＋∞)．
考点二　函数的零点
核心提炼
判断函数零点个数的方法
(1)利用函数零点存在定理判断．
(2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．
(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性．
考向1　函数零点个数的判断
例2　已知f(x)是定义在R上周期为2的偶函数，且当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，则函数g(x)＝f(x)－log5|x|的零点个数是(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
答案　D
解析　当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，函数y＝f(x)的周期为2且为偶函数，其图象关于y轴对称，可作出函数f(x)的图象．函数y＝log5|x|的图象关于y轴对称，函数y＝g(x)的零点，即为两函数图象交点的横坐标，当x>5时，y＝log5|x|>1，此时两函数图象无交点，如图，
又两函数的图象在x>0上有4个交点，由对称性知两函数的图象在x<0上也有4个交点，且它们关于y轴对称，可得函数g(x)＝f(x)－log5|x|的零点个数为8.
考向2　求参数的值或范围
例3　(2022·河北联考)函数f(x)＝ex和g(x)＝kx2的图象有三个不同交点，则k的取值范围是________．
答案　
解析　因为函数f(x)＝ex和g(x)＝kx2的图象有三个不同交点，
所以方程ex＝kx2有三个不同的实数根，显然x＝0不是方程的实数根，
所以方程＝k(k>0)有三个不同的非零实数根，
令h(x)＝，则h′(x)＝，
所以当x<0时，h′(x)>0，
当0<x<2时，h′(x)<0，
当x>2时，h′(x)>0，
所以函数h(x