人教2023年高考数学二轮复习(全国版理) 第1部分 专题突破 专题2 微重点7　平面向量的最值与范围问题.docx

微重点7　平面向量的最值与范围问题
平面向量中的最值与范围问题，是高考的热点与难点问题，主要考查求向量的模、数量积、夹角及向量的系数等的最值、范围．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，数形结合也是解决平面向量中的最值与范围问题的重要方法．
考点一　求参数的最值(范围)
例1　(1)(2022·沈阳质检)在正六边形ABCDEF中，点G为线段DF(含端点)上的动点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是________．
答案　[1,4]
解析　根据题意，不妨设正六边形ABCDEF的边长为2，以O为原点建立平面直角坐标系，如图所示，
则F(－2，0)，D(，3)，C(2，0)，B(，－3)，
设点G的坐标为(m，n)，则＝(m－2，n)，
＝(－，－3)，＝(－，3)，
由＝λ＋μ可得，
m－2＝－λ－μ，即λ＋μ＝－m＋2，
数形结合可知m∈[－2，]，
则－m＋2∈[1,4]，即λ＋μ的取值范围为[1,4]．
(2)设非零向量a，b的夹角为θ，若|a|＝2|b|，且不等式|2a＋b|≥|a＋λb|对任意θ恒成立，则实数λ的取值范围为(　　)
A．[－1,3] B．[－1,5]
C．[－7,3] D．[5,7]
答案　A
解析　∵非零向量a，b的夹角为θ，若|a|＝2|b|，
a·b＝|a||b|cos θ＝2|b|2cos θ，
不等式|2a＋b|≥|a＋λb|对任意θ恒成立，
∴(2a＋b)2≥(a＋λb)2，
∴4a2＋4a·b＋b2≥a2＋2λa·b＋λ2b2，
整理可得(13－λ2)＋(8－4λ)cos θ≥0恒成立，
∵cos θ∈[－1,1]，
∴
∴
∴－1≤λ≤3.
规律方法　利用共线向量定理及推论
(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)．
(2)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，则A，B，C三点共线⇔λ＋μ＝1.
跟踪演练1　(2022·滨州模拟)在△ABC中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是(　　)
A. B.
C．[0,1] D．[1,2]
答案　C
解析　由题意，设＝t(0≤t≤1)，如图．
当t＝0时，＝0，
所以λ＋μ＝0，
所以λ＝μ＝0，从而有λ＋μ＝0；
当0<t≤1时，因为＝λ＋μ(λ，μ∈R)，
所以t＝λ＋μ，
即＝＋，
因为M，B，C三点共线，
所以＋＝1，即λ＋μ＝t∈(0,1]．
综上，λ＋μ的取值范围是[0,1]．
考点二　求向量模、夹角的最值(范围)
例2　(1)已知e为单位向量，向量a满足：(a－e)·(a－5e)＝0，则|a＋e|的最大值为(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
答案　C
解析　可设e＝(1,0)，a＝(x，y)，
则(a－e)·(a－5e)＝(x－1，y)·(x－5，y)＝x2－6x＋5＋y2＝0，
即(x－3)2＋y2＝4，
则1≤x≤5，－2≤y≤2，
|a＋e|＝＝，
当x＝5时，取得最大值为6，
即|a＋e|的最大值为6.
(2)在平行四边形ABCD中，＋＝，λ∈[，2]，则cos∠BAD的取值范围是________．
答案　
解析　因为＋＝，且＋＝，所以||∶||∶||＝1∶2∶λ，
不妨设||＝1，则||＝2，||＝λ，
在等式＋＝两边同时平方可得5＋4cos∠BAD＝λ2，则cos∠BAD＝，
因为λ∈[，2], 所以cos∠BAD＝∈.
易错提醒　找两向量的夹角时，要注意“共起点”以及向量夹角的取值范围是[0，π]；
若向量a，b的夹角为锐角，包括a·b>0和a，b不共线，同理若向量a，b的夹角为钝角，包括a·b<0和a，b不共线．
跟踪演练2　(2022·马鞍山模拟)已知向量a，b满足|a－3b|＝|a＋3b|，|a＋b|＝4，若向量c＝λa＋
μb(λ＋μ＝1，λ，μ∈R)，且a·c＝b·c，则|c|的最大值为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　B
解析　由|a－3b|＝|a＋3b|得a·b＝0，
所以a⊥b.如图，
设＝a，＝b，||＝m，||＝n，由a⊥b可知OA⊥OB，
所以||＝|b－a|＝|a＋b|＝4，
即m2＋n2＝16，所以2mn≤16，则mn≤8，当且仅当m＝n时取得等号．
设＝c，
由c＝λa＋μb(λ＋μ＝1)，
可知A，B，C三点共线，
由a·c＝b·c可知(a－b)·c＝0，所以OC⊥AB，
由等面积法可得，
||·||＝||·||，
得||＝＝≤2，
所以|