人教2023年高考数学二轮复习(全国版理) 第1部分 专题突破 专题6 第1讲　直线与圆.docx

第1讲　直线与圆
[考情分析]　1.和导数、圆锥曲线相结合，求直线的方程，考查点到直线的距离公式，多以选择题、填空题的形式出现，中低难度.2.和圆锥曲线相结合，求圆的方程或弦长、面积等，中高难度．
考点一　直线的方程
核心提炼
1．已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为零)，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为零)，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
2．点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)的距离d＝.
3．两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为零)间的距离d＝.
例1　(1)(2022·常德模拟)已知直线l1：ax－4y－3＝0，l2：x－ay＋1＝0，则“a＝2”是“l1∥l2”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　若l1∥l2，
则有－a2＋4＝0，解得a＝±2，
当a＝2时，l1：2x－4y－3＝0，
l2：x－2y＋1＝0，l1∥l2，
当a＝－2时，l1：2x＋4y＋3＝0，
l2：x＋2y＋1＝0，l1∥l2，
所以若l1∥l2，则a＝±2，
所以“a＝2”是“l1∥l2”的充分不必要条件．
(2)(2022·济宁模拟)已知直线l1：kx＋y＝0过定点A，直线l2：x－ky＋2＋2k＝0过定点B，l1与l2的交点为C，则|AC|＋|BC|的最大值为______．
答案　2
解析　由l1：kx＋y＝0，得l1过定点A(0,0)，
由l2：x＋2＋k(2－y)＝0，
得l2过定点B(－2，2)，
显然k×1＋1×(－k)＝0，即l1，l2相互垂直，
而l1与l2的交点为C，
即AC⊥BC, 又|AB|＝2，
∴|AC|2＋|BC|2＝12，
∴(|AC|＋|BC|)2＝12＋2|AC|·|BC|
≤12＋(|AC|2＋|BC|2)＝24，
∴|AC|＋|BC|的最大值为2，
当且仅当|AC|＝|BC|＝时，等号成立．
∴|AC|＋|BC|的最大值为2.
易错提醒　解决直线方程问题的三个注意点
(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．
(2)要注意直线方程每种形式的局限性，点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直，而截距式方程既不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．
(3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在．
跟踪演练1　(1)已知直线l：ax＋y－2＋a＝0在x轴与y轴上的截距相等，则实数a的值是(　　)
A．1 B．－1
C．－2或1 D．2或1
答案　D
解析　当a＝0时，直线y＝2，此时不符合题意，应舍去；
当a≠0时，由直线l：ax＋y－2＋a＝0可得，横截距为，纵截距为2－a.
由＝2－a，解得a＝1或a＝2.
经检验，a＝1,2均符合题意，
故a的值是2或1.
(2)若直线l1：x－2y＋1＝0与直线l2：2x＋my＋1＝0平行，则直线l1与l2之间的距离为________．
答案　
解析　由直线l1：x－2y＋1＝0与直线l2：2x＋my＋1＝0平行，
可得1×m－2×(－2)＝0，即m＝－4，
故两直线可化为l1：2x－4y＋2＝0，l2：2x－4y＋1＝0，故直线l1与l2之间的距离为d＝
＝.
考点二　圆的方程
核心提炼
1．圆的标准方程
当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
2．圆的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以为圆心，为半径的圆．
例2　(1)已知圆C与直线y＝x及x－y－4＝0都相切，圆心在直线y＝－x上，则圆C的方程为(　　)
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2
D．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
答案　D
解析　因为圆心在直线y＝－x上，
设圆心坐标为(a，－a)，
因为圆C与直线y＝x及x－y－4＝0都相切，
所以＝，
解得a＝1，所以圆心坐标为(1，－1)，
又＝R，
所以R＝，
所以圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
(2)在平面直角坐标系中，A(－1,0)，B(1,0)，C(0，)，动点P满足|PA|＝|PB|.则点P的轨迹方程为________________．△PAC的面积的最大值为___