人教2023年高考数学二轮复习(全国版理) 第1部分 专题突破 专题6 第4讲 母题突破3　定值问题.docx

母题突破3　定值问题
母题　已知抛物线C：y2＝2px(p>0)经过点P(1,2)，过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于点M，直线PB交y轴于点N.
(1)求直线l斜率的取值范围；
(2)设O为原点，＝λ，＝μ，求证：＋为定值．
思路分析
❶联立l，C的方程，由判别式及PA，PB与y轴有交点求斜率的取值范围
　　　↓
❷用A，B的坐标表示M，N的坐标
　　　↓
❸用M，N的坐标表示λ，μ
　　　↓
❹利用根与系数的关系计算＋
　　　↓
❺求出＋为定值
(1)解　因为抛物线y2＝2px过点P(1,2)，
所以2p＝4，即p＝2.
故抛物线C的方程为y2＝4x.
由题意知，直线l的斜率存在且不为0.
设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0)，
由得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.
依题意知Δ＝(2k－4)2－4×k2×1＞0，解得k<1，
又因为k≠0.
故k＜0或0＜k＜1.
又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点(1，－2)．
从而k≠－3.
所以直线l的斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，0)∪(0,1)．
(2)证明　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由(1)知x1＋x2＝－，x1x2＝.
直线PA的方程为y－2＝(x－1)，
令x＝0，得点M的纵坐标为
yM＝＋2＝＋2.
同理得点N的纵坐标为yN＝＋2.
由＝λ，＝μ，
得λ＝1－yM，μ＝1－yN.
所以＋＝＋
＝＋
＝·
＝·
＝2.
所以＋为定值．
[子题1]　(2022·张家口质检)已知双曲线C：x2－＝1，若直线l与双曲线C交于A，B两点，且·＝0，O为坐标原点，证明：点O到直线l的距离为定值，并求出这个定值．
证明　设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
当直线l和x轴或y轴平行时，
|x1|＝|y1|，|x2|＝|y2|，
解得|x1|＝|y1|＝|x2|＝|y2|＝，
所以点O到直线l的距离为.
当直线l和x轴或y轴不平行时，
设直线l的方程为x＝my＋t，
由
得(3m2－1)y2＋6mty＋3t2－3＝0，
Δ＝(6mt)2－4(3m2－1)(3t2－3)
＝12(3m2＋t2－1)>0，
所以y1＋y2＝，y1y2＝.
又x1＝my1＋t，x2＝my2＋t，
所以·＝x1x2＋y1y2
＝(my1＋t)(my2＋t)＋y1y2
＝(m2＋1)y1y2＋mt(y1＋y2)＋t2＝0，
得＝0，
解得2t2＝3m2＋3.
又点O到直线l的距离为d＝，
则d2＝＝，
故d＝，
所以点O到直线l的距离为定值.
[子题2]　(2022·马鞍山模拟)已知椭圆C：＋＝1，P为椭圆上一点，过点P作斜率互为相反数的两条直线，分别交椭圆于A，B两点(不与P点重合)，证明：直线AB的斜率为定值．
证明　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为－k，
于是PA的方程为y＝k(x－1)＋，
PB的方程为y＝－k(x－1)＋，
代入A，B坐标并作差得，
y1－y2＝k(x1＋x2)－2k，①
另一方面，联立
消去y得(3＋4k2)x2－(8k2－12k)x＋(4k2