人教2023年高考数学二轮复习(全国版理) 第2部分 思想方法　第1讲　函数与方程思想.docx

高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等．
第1讲　函数与方程思想
思想概述　函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．
方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析问题、转化问题，使问题得以解决．
方法一　运用函数相关概念的本质解题
在理解函数的定义域、值域、性质等本质的基础上，主动、准确地运用它们解答问题．常见问题有求函数的定义域、解析式、最值，研究函数的性质．
例1　(1)(2022·西安模拟)已知函数f(x)＝是(－∞，＋∞)上的增函数，则实数a的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
思路分析　分段函数是(－∞，＋∞)上的增函数→每一段都为增函数→x＝1右侧的函数值不小于左侧的函数值求解
答案　A
解析　函数f(x)＝
是(－∞，＋∞)上的增函数，
所以
解得 ≤a≤2，
所以实数a的取值范围是.
批注　在函数的第一段中，虽然没有x＝1，但当x＝1时，本段函数有意义，故可求出其对应的“函数值”，且这个值是本段的“最大值”，为了保证函数是增函数，这个“最大值”应不大于第二段的最小值，即f(1)，这是解题的一个易忽视点．
(2)(2022·河南名校联盟联考)已知ab＝且函数f(x)＝(0≤x<3)，对定义域内的任意的x，恒有Mf(x)＝f(x)，则正数M的取值范围为(　　)
A. B.
C．[2，＋∞) D．(0,2]
思路分析　“”的定义，表示取小→有Mf(x)＝f(x)知，M≥f(x)→求f(x)的最大值
答案　C
解析　令t＝x2－2x(0≤x<3)，则t∈[－1,3)，
则f(t)＝t∈，
因为ab＝
又对定义域内的任意的x恒有Mf(x)＝f(x)，
所以M≥2，正数M的取值范围为[2，＋∞)．
批注　本题关键是理解“”的含义，对于复合函数f(x)的最值、值域问题，应采用换元法，变成常见的二次和指数函数．
规律方法　解答本题，首先要明确分段函数和增函数这两个概念的本质，分段函数是一个函数，根据增函数的定义，两段函数都是增函数，但这不足以说明整个函数是增函数，还要保证在两段的衔接处呈增的趋势，这一点往往容易被忽视．
方法二　利用函数性质解不等式、方程问题
函数与方程、不等式相互联系，借助函数的性质可以解决方程的解的个数、参数取值范围以及解不等式问题．
例2　(1)(2022·山东名校大联考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝3x－1，则使不等式f(ex－3e－x)<成立的x的取值范围是(