人教2023年高考数学二轮复习(全国版理) 第2部分 思想方法　第2讲　数形结合思想.docx

第2讲　数形结合思想
思想概述　数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确．
方法一　利用数形结合求解函数与方程、不等式问题
利用函数图象可直观研究函数的性质，求解与函数有关的方程、不等式问题．
例1　(1)(2022·石家庄模拟)已知函数f(x)＝若方程f(x)＝a恰有四个不同的实数解，分别记为x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
思路分析　由f(x)＝sin πx－cos πx，－≤x＜0→f(x)＝2sin，－≤x≤0→f(x)关于x＝－对称→x1＋x2的值；由f(x)＝|log2x|，x>0→x3x4＝1
答案　A
解析　f(x)＝
当－≤x≤0时，
f(x)＝sin πx－cos πx
＝2＝2sin，
令πx－＝－，解得x＝－，
当x＝－时，f ＝2sin＝1，
当x>0时，f(x)＝|log2x|，令f(x)＝2，
解得x＝4或x＝，
令f(x)＝1，解得x＝2或x＝，
作出函数f(x)的图象如图所示，
因为方程f(x)＝a恰有四个不同的实数解，即y＝f(x)与y＝a恰有四个交点，所以1≤a<2，
不妨令x1<x2<x3<x4，
则x1<x2<0<x3≤<2≤x4<4，
且x1与x2关于x＝－对称，
所以x1＋x2＝－，
又|log2x3|＝|log2x4|，
即－log2x3＝log2x4，
所以log2x4＋log2x3＝0，
即x3·x4＝1，
所以x3＝，
所以x1＋x2＋x3＋x4＝－＋＋x4，
因为y＝＋x在[2,4)上单调递增，
所以＋x4∈，
所以x1＋x2＋x3＋x4∈.
(2)已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0] B．(－∞，1]
C．[－2,1] D．[－2,0]
思路分析　作出函数y＝|f(x)|的图象和函数y＝ax的图象→结合图象可知直线y＝ax介于l与x轴之间→利用导数求出直线l的斜率，数形结合即可求解
答案　D
解析　由题意可作出函数y＝|f(x)|的图象和函数y＝ax的图象．
由图象可知，函数y＝ax的图象是过原点的直线，
当直线介于l与x轴之间符合题意，
直线l为曲线的切线，且此时函数y＝|f(x)|在第二象限的部分的解析式为y＝x2－2x，
求其导数可得y′＝2x－2，当x＝0时，y′＝－2，
故直线l的斜率为－2，
故只需直线y＝ax的斜率a∈[－2,0]．
规律方法　方程的根可通过构造函数，转化为两函数的交点横坐标；不等式f(x)<g(x)可转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象的位置关系．
方法二　利用数学概念、表达式的几何意义求解最值、范围问题
向量、复数、圆锥曲线等数学概念具有明显的几何意义，可利用图形观察求解有关问题；灵活应用一些几何结构的代数形式，如斜率、距离公式等．
例2　(2022·朔州模拟)若|a|＝|b|＝|c|＝2，且a·