人教2023年高考数学二轮复习（全国版文） 第1部分 专题突破 专题1 培优点1　洛必达法则.docx

培优点1　洛必达法则
“洛必达法则”是高等数学中的一个重要定理，用分离参数法(避免分类讨论)解决能成立或恒成立问题时，经常需要求在区间端点处的函数(最)值，若出现型或型可以考虑使用洛必达法则．
法则1
若函数f(x)和g(x)满足下列条件：
(1) f(x)＝0及 g(x)＝0;
(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g′(x)≠0;
(3) ＝k，
那么 ＝ ＝k.
法则2
若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：
(1) f(x)＝∞及 g(x)＝∞；
(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g′(x)≠0;
(3) ＝k，
那么 ＝ ＝k.
1．将上面公式中的x→a，x→∞换成x→＋∞，x→－∞，x→a＋，x→a－洛必达法则也成立．
2．洛必达法则可处理，，0·∞，1∞，∞0，00，∞－∞型求最值问题．
考点一　利用洛必达法则求型最值
例1　已知函数f(x)＝x2ln x－a(x2－1)，a∈R.若当x≥1时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．
解　方法一　f′(x)＝2xln x＋x－2ax
＝x(2ln x＋1－2a)，
因为x≥1，所以2ln x＋1≥1，
则当a≤时，f′(x)＝x(2ln x＋1－2a)≥0，
此时f(x)在[1，＋∞)上单调递增，
所以f(x)≥f(1)＝0，此时f(x)≥0恒成立，
所以a≤符合题意；
当a>时，
由f′(x)＝x(2ln x＋1－2a)＝0，得x0＝，
则x∈ 时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
x∈ 时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以f(x)min＝
＝·－a
＝e2a－1－a(e2a－1－1)＝a－
＝<0.
此时，f(x)≥0不成立．
综上，a≤.
方法二　由f(x)＝x2ln x－a(x2－1)≥0，
当x＝1时，不等式成立，a∈R，
当x>1时，a≤，
令g(x)＝(x>1)，
则g′(x)＝，
因为x>1，则(x2－1－2ln x)′＝2x－>0，
故y＝x2－1－2ln x在(1，＋∞)上单调递增，
则y＝x2－1－2ln x>0，
故g′(x)＝>0.
所以g(x)在(1，＋∞)上单调递增．
则g(x)>g(1)，由洛必达法则知
＝ ＝.
所以由a≤恒成立，
得a≤.
规律方法　对函数不等式恒成立求参数取值范围时，采用分类讨论、假设反证法．若采取参数与分离变量的方法，在求分离后函数的最值(值域)时会有些麻烦，如最值、极值在无意义点处，或趋于无穷，此时，利用洛必达法则即可求解．洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止．
跟踪演练1　已知函数f(x)＝ex－1－x－ax2，当x≥0时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．
解　当x＝0时，f(x)＝0，
对任意实数a都有f(x)≥0；
当x>0时，由f(x)≥0得a≤，
设g(x)＝，
则g′(x)＝，
令h(x)＝xex－2ex＋x＋2(x>0)，
则h′(x)＝xex－ex＋1，
记φ(x)＝h′(x)，则φ′(x)＝xex>0，
∴h′(x)在(0，＋∞)上单调递增，h′(x)>h′(0)＝0，
∴h(x)在(0，＋∞)上单调递增，h(x