人教版专题6-2 数列大题综合18种题型（讲+练）-2023年高考数学二轮复习讲练测（全国通用）（解析版）.docx

专题6-2 数列大题综合18种题型
目录
讲高考 1
题型全归纳 6
【题型一】恒成立求参 6
【题型二】数列“存在型”求参 8
【题型三】“存在型”证明题 10
【题型四】数列“存在型不定方程型 11
【题型五】双数列相同项“存在型” 13
【题型六】新数列与“子数列”型 14
【题型七】“下标”数列型 15
【题型八】指数型常规裂项求和 16
【题型九】“指数等差型”裂项求和 18
【题型十】“指数分子拆分型”裂项求和 19
【题型十一】“正负裂和”型裂项求和 21
【题型十二】“分离常数型”裂项求和 23
【题型十三】先放缩再裂项求和 24
【题型十四】前n项积型 26
【题型十五】解数列不等式 27
【题型十六】证明数列不等式 28
【题型十七】求和：范围最值型 30
【题型十八】“隐和型” 31
专题训练 32
讲高考

1．（·湖南·高考真题）数列满足．
(1)求，并求数列的通项公式；
(2)设，求使的所有k的值，并说明理由．
【答案】(1)(2)所有的值为3，4，5
【分析】（1）由题意知，，一般地，当时，．因此．当时，，由此可知数列的通项公式；
（2）由题设知，，，，由此可知当时，，可得满足的所有的值．
【详解】（1）解：因为，，
所以，，
一般地，当时，，
即．所以数列是首项为0、公差为4的等差数列，
因此．
当时，，
所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此．
故数列的通项公式为
（2）解：由（1）知，
，，．
于是，，，，，．
下面证明：当时，．
事实上，当时，，
即．
又，所以当时，．
故满足的所有的值为3，4，5．
2．（2022·天津·统考高考真题）设是等差数列，是等比数列，且．
(1)求与的通项公式；
(2)设的前n项和为，求证：；
(3)求．
【答案】(1)(2)证明见解析(3)
【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解；
（2）由等比数列的性质及通项与前n项和的关系结合分析法即可得证；
（3）先求得，进而由并项求和可得，再结合错位相减法可得解.
【详解】（1）设公差为d，公比为，则，
由可得（舍去），
所以；
（2）证明：因为所以要证，
即证，即证，
即证，
而显然成立，所以；
（3）因为
，
所以
，设所以，
则，
作差得，
所以，所以.
3．（2022·全国·统考高考真题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)求集合中元素个数．
【答案】(1)证明见解析；(2)．
【分析】（1）设数列的公差为，根据题意列出方程组即可证出；
（2）根据题意化简可得，即可解出．
【详解】（1）设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证．
（2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为．
4．（2022·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
【答案】(1)证明见解析；(2)．
【分析】（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证；
（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得．
【详解】（1）因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
（2）[方法一]：二次函数的性质
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，当或时，．
[方法二]：【最优解】邻项变号法
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，即有.
则当或时，．
【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出的最小值，适用于可以求出的表达式；
法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．
5．（2021·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;
（2）求的通项公式．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）由已知得,且，取,得,由题意得,消积得到项的递推关系,进而证明数列是等差数列;
（2）由（1）可得的表达式,由此得到的表达式,然后利用和与项的关系求得.
【详解】（1）[方法一]：
由已知得,且，,
取,由得,
由于为数列的前n项积，
所以,
所以，
所以,
由于
所以，即,其中
所以数列是以为首项，以为公差等差数列;
[方法二]【最优解】：
由已知条件知