人教版专题09 计数原理与排列组合（解析版）.docx

专题09 计数原理与排列组合
一、核心先导
二、考点再现
【考点1】排列
1．排列的概念：
从个不同元素中，任取（）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列
说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；
（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同
2．排列数的定义：
从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从个不同元素中，任取个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从个不同元素中，任取（）个元素的所有
排列的个数，是一个数所以符号只表示排列数，而不表示具体的排列
3．排列数公式及其推导：
由的意义：假定有排好顺序的2个空位，从个元素中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列，反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数．由分步计数原理完成上述填空共有种填法，∴=
由此，求可以按依次填3个空位来考虑，∴=，
求以按依次填个空位来考虑，
排列数公式：
（）
说明：（1）公式特征：第一个因数是，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是，共有个因数；
（2）全排列：当时即个不同元素全部取出的一个排列
全排列数：（叫做n的阶乘） 另外，我们规定 0! =1 .
1组合的概念：一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合
说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同
【考点2】组合
1．组合数公式的推导：
（1）从4个不同元素中取出3个元素的组合数是多少呢？
启发：由于排列是先组合再排列，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数可以求得，故我们可以考察一下和的关系，如下：
组 合 排列

由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数，可以分如下两步：① 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有
个；② 对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有种方法．由分步计数原理得：＝，所以，．
2.推广：一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以分如下两步：
① 先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数；
② 求每一个组合中m个元素全排列数，根据分步计数原理得：＝．
3.组合数的公式：
或
规定: .
三、解法解密
方法一、特殊优先安排法：
对于带有特殊元素的排列问题，一般应先考虑特殊元素、特殊位置，再考虑其他元素与其他位置，也就是解题过程中的一种主元思想；若含有两个或两个以上的特殊位置或特殊元素，则应使用集合的思想来考虑，这种情况又分为：无关型(两个特殊位置上分别可取的元素所组成的集合的交是空集)；包合型(两个特殊位置上分别可取的元素所组成集合具有包合关系)；影响型(两个特殊位置上可取的元素既有相同的，又有不同的) ．
方法二、合理分类与准确分步法：
解含有约束条件的排列组合问题，应按元素的性质进行分类，按事件发生的连贯过程分步，做到分类标准明确、分步层次清楚，不重不漏．
方法三、解排列组台混合问题，采用先选后排法：
对于排列与组合的混合问题，可采取先选出元素，后进行排列的策略．
方法四、正难则反、等价转化法：
对某些排列组合问题，当从正面入手情况复杂，不易解决时，可考虑从反面入手，将其等价转化为一个较简单的问题来处理．即采用先求总的排列数(或组合数)，再减去不符合要求的排列数(或组合数)，从而使问题获得解决的方法(其实它就是补集思想) ．
方法五、相邻元素——捆绑法：
对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”起来，看作一个“大元素”与其他元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列．
方法六、不相邻元素——插空法：
对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可．
方法七、顺序固定问题用“除法”：
对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数．
方法八、分排问题和环排问题直排法：
把n个元素排成若干排的问题，若没有其他的特殊要求，可采取统一排成一排的方法来处理；把个不同元素放在圆周个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（