人教版专题16 圆锥曲线中的范围与最值问题、探索性问题（解析版）.docx

专题16 圆锥曲线中的范围与最值问题
一、核心先导
二、考点再现
【考点1】、若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设
过的直线 的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，则有：①
；②
若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设
过的直线 的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，则有
：① ；②
同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为（a为长半轴，b为短半轴，c为半焦距）
结论：椭圆过焦点弦长公式：
【考点2】、过椭圆左焦点的焦点弦为,则；过右焦
点的弦.
【考点3】、抛物线与直线相交于且该直线与轴交于点，则有.
【考点4】、设为过抛物线焦点的弦，，直线的倾斜角为，则
①.
②.
③.[来源:学§科§网]
④.；
⑤.；
⑥.；
三、解法解密
方法1. 圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：
①利用判别式来构造不等关系，从而确定取值范围；[来源:学*科*网Z*X*X*K]
②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出取值范围；
③利用基本不等式求出取值范围；
④利用函数的值域的求法，确定取值范围
方法2.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
四、考点解密
题型（一）利用题设条件，结合几何特征与性质求范围
例1、（1）.已知，为双曲线，的左、右焦点，过的直线与圆相切于点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设，，由过的直线与圆相切，可得圆心到直线的距离，过向直线作垂线，垂足为，在直角三角形中，可得，，，，即有，由OM为三角形的中线，可得，即，即有，再根据得到双曲线的离心率为.故选D．
（2）.（2022·陕西·乾县第二中学高二阶段练****已知椭圆的离心率为为的一个焦点，为上一动点，则的最大值为（    ）
A．3 B．5 C． D．
【答案】D
【分析】由题知椭圆的焦点在轴上且，进而得，.
【详解】解：设椭圆的半焦距为
，故焦点在轴上．
，离心率为，
，解得
．
∴根据椭圆的性质可知．
故选：D
【变式训练1-1】、（2021·陕西·咸阳市实验中学高二阶段练****已知椭圆C：的下焦点为，点在椭圆C上，点N在圆E：上，则的最小值为（    ）
A．4 B．5 C．7 D．8
【答案】B
【分析】根据椭圆的定义把问题转化为求的最大值，利用三角形的两边之差小于第三边求解即可.
【详解】圆E：，则圆心E(0，2）为椭圆C的上焦点，
已知椭圆C：，则，，，
由椭圆的定义可知，，则，
所以，
当M，N，E三点共线时，|取最大值1，
所以的最小值为6-1=5．
故选︰B
【变式训练1-2】、过双曲线的右支上一点,分别向圆：和圆 ：作切线,切点分别为,,则的最小值为（ ）
A．10 B．13 C．16 D．19
【答案】B
【解析】由题可知,,因此.故选B．
题型（二）利用根的判别式或韦达定理或参数建立不等关系求范围
例2、已知抛物线:与圆:，直线与交于，两点，与交于，两点，且，位于轴的上方，则 _________．
【答案】
【解析】圆的方程化为，直线 过抛物线焦点，
结合抛物线定义，可得，由
，得，所以，即.
【变式训练2-1】、（2022·河南·宜阳县第一高级中学高二阶段练****过椭圆的右焦点F且与长轴垂直的弦的长为，过点且斜率为的直线与C相交于A，B两点，若P恰好是AB的中点，则椭圆C上一点M到F的距离的最大值为（    ）
A．6 B． C． D．
【答案】D
【分析】将代入椭圆C的方程并结合已知可得，由点差法结合已知可得，由此求出，则C上的点M到焦点F的距离的最大值为即可求解
【详解】将代入椭圆C的方程得，
所以①，
设，，则，，
两式相