人教第02讲 三角函数恒等变换（讲）（解析版）.docx

第02讲 三角恒等变换
本讲为高考命题热点，分值10分，题型以选择题为主，多出现于高考前六题选择题中，
平面向量主要考察线性运算，坐标运算与数量积运算，近几年多考察拓展类，例如平面向量中的范围最值，平面向量与三角函数结合等内容；复数主要考察复数的概念，四则运算与复数的模与几何意义，考察逻辑推理能力，运算求解能力.
考点一 同角三角函数的基本关系是与诱导公式
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：＝tan__α.
2.三角函数的诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin α
－sin__α
－sin__α
sin__α
cos__α
cos__α
余弦
cos α
－cos__α
cos__α
－cos__α
sin__α
－sin__α
正切
tan α
tan__α
－tan__α
－tan__α
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
3.同角三角函数关系式的常用变形
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α.
3.诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.
4.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
考点二 三角恒等变换
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β.
cos(α∓β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β.
tan(α±β)＝.
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sin__αcos__α.
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
tan 2α＝.
3.函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝·cos(α－φ).
4.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).
5.cos2α＝，sin2α＝.
6.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝sin.
高频考点一 诱导公式的应用
【例1】化简的结果是(　　)
A.－1 B.1
C.tan α D.－tan α
【答案】C
【解析】由诱导公式，得原式
＝＝＝tan α，故选C.
【例2】 2.(2021·长春模拟)已知α为锐角，且＝tan，则角α＝(　　)
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由条件得＝，又因为α为锐角，所以sin＝cos，即sin＝sin，所以有α－＝－，解得α＝，故选C.
【方法技巧】
1.诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
2.含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.
高频考点二 共线定理及其应用
【例3】 (1)已知α是第四象限角，tan α＝－，则sin α等于(　　)
A. B.－
C. D.－
(2)已知曲线f(x)＝x3在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为α，则＝(　　)
A. B.2
C. D.－
【答案】(1)D　(2)C
【解析】(1)因为tan α＝－，所以＝－，所以cos α＝－sin α，代入sin2α＋cos2α＝1，得sin2α＝，又α是第四象限角，所以sin α＝－.
(2)由f′(x)＝2x2，得tan α＝f′(1)＝2，故＝＝.故选C.
【例4】 (2022·东北三省三校联考)若sin θ－cos θ＝，且θ∈，则sin(π－θ)－cos(π－θ)＝(　　)
A.－ B.
C.－ D.
【答案】A
【解析】由sin θ－cos θ＝得1－2sin θcos θ＝，即2sin θcos θ＝－，
∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，
又θ∈，∴sin θ＋cos θ<0，∴sin θ＋cos θ＝－，
则sin(π－θ)－cos(π－θ)＝sin θ＋cos θ＝