人教第4章 三角函数、解三角形 第1节　任意角和弧度制及任意角的三角函数.docx

第1节　任意角和弧度制及任意角的三角函数
考试要求　1.了解任意角的概念和弧度制的概念；2.能进行弧度与角度的互化；
3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
1.角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
(2)分类
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.
2.弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
(2)公式
角α的弧度数公式
|α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
1°＝ rad；1 rad＝°
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝lr＝|α|r2
3.任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝y，cos
α＝x，tan α＝(x≠0).
(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线.
1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用.
3.象限角
4.轴线角
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)小于90°的角是锐角.(　　)
(2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.(　　)
(3)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.(　　)
(4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
解析　(1)锐角的取值范围是.
(2)第一象限角不一定是锐角.
2.(易错题)时间经过4h(时)，时针转了________弧度.
答案　－
3.在－720°～0°范围内，所有与角α＝45°终边相同的角β构成的集合为________.
答案　{－675°，－315°}
解析　所有与角α终边相同的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令
－720°≤45°＋k×360°＜0°(k∈Z)，得－765°≤k×360°＜－45°(k∈Z).
解得k＝－2或k＝－1，
∴β＝－675°或β＝－315°.
4.(易错题)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若A(－1，y)是角θ终边上的一点，且sin θ＝－，则y＝________.
答案　－3
解析　因为sin θ＝－<0，A(－1，y)是角θ终边上一点，所以y<0，
由三角函数的定义，得＝－.
解得y＝－3.
5.(2022·安徽五校联考)已知角θ的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边上有一点P(4sin θ，cos θ)，θ∈，则tan θ＝________.
答案　
解析　由题意知tan θ＝＝，故tan θ＝±，又θ∈，∴tan θ＝.
6.(2022·开封模拟)中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.如图1，在半圆O中作出两个扇形OAB和OCD，再从扇形OAB中剪下扇环形ABDC制作扇面(如图2).当扇环形ABDC的面积与扇形OAB的面积的比值为时，扇面形状较为美观，则此时扇形OCD的半径与半圆O的半径的比值为________.
答案　
解析　设∠AOB＝θ，半圆O的半径为r，扇形OCD的半径为r1，依题意，有＝，即＝，
所以＝＝＝，
所以＝.
考点一　角的概念及其表示
1.(2021·合肥期末)集合{α|kπ＋≤α≤kπ＋，k∈Z}中的角α所表示的范围(阴影部分)是(　　)
答案　C
解析　当k为偶数时，集合{α|kπ＋≤α≤kπ＋，k∈Z}与表示的角终边相同，位于第一象限；当k为奇数时，集合与表示的角终边相同，位于第三象限.
2.若角α是第二象限角，则是(　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角
答案　C
解析　因为α是第二象限角，
所以＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，
所以＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z.
当k为偶数时，是第一象限角；
当k为奇数时，是第三象限角.
所以是第一或第三象限角.
3.终边在直线y＝x上的角的集合为________.
答案　
解析　∵在(0，2π)内终边在直线y＝x上的角是，，与，终边相同的角分别为2kπ＋，2kπ＋＝(2k＋1)π＋，k∈Z，
∴终