人教第11章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第5节　古典概型与几何概型.docx

第5节　古典概型与几何概型
考试要求　1.理解古典概型及其概率计算公式；2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率；3.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；4.了解几何概型的意义.
1.古典概型
(1)基本事件的特点
①任何两个基本事件是互斥的.
②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.
(2)古典概型的定义
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.
(3)古典概型的概率公式
P(A)＝.
2.几何概型
(1)几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.
(2)几何概型的两个基本特点
(3)几何概型的概率公式
P(A)＝.
1.概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0.
2.几何概型的基本事件的个数是无限的，古典概型中基本事件的个数是有限的.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”.(　　)
(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件.(　　)
(3)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.(　　)
(4)概率为0的事件一定是不可能事件.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
解析　对于(1)，发芽与不发芽不一定是等可能，所以(1)不正确；对于(2)，三个事件不是等可能，其中“一正一反”应包括正反与反正两个基本事件，所以(2)不正确；对于(4)，概率为0的事件有可能发生，所以(4)不正确.
2.袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球抽到白球的概率为(　　)
A. B.
C. D.非以上答案
答案　A
解析　从袋中任取一球，有C种取法，其中抽到白球的取法有C种，则所求概率为p＝＝.
3.(2020·全国Ⅰ卷)设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　从O，A，B，C，D这5个点中任取3点，取法有{O，A，B}，{O，A，C}，{O，A，D}，{O，B，C}，{O，B，D}，{O，C，D}，{A，B，C}，{A，B，D}，{A，C，D}，{B，C，D}，共10种，其中取到的3点共线的只有{O，A，C}，{O，B，D}这2种取法，所以所求概率为＝.故选A.
4.(2021·安徽四校测试)如图所示，在边长为4的正三角形中有一封闭曲线围成的阴影区域. 在正三角形中随机撒一粒豆子(豆子大小忽略不计)，它落在阴影区域内的概率为，那么估计阴影区域的面积为(　　)
A. B.2 C.3 D.4
答案　C
解析　设阴影区域的面积为S，根据几何概型的概率公式知S＝×42×＝3，故选C.
5.(2022·长春质量监测)张老师居住的一条街上，行驶着甲、乙两路公交车，这两路公交车的数目相同，并且都是每隔十分钟就到达车站一辆(即停即走).张老师每天早晨都是在6：00到6：10之间到达车站乘车到学校，这两条公交线路对他是一样的，都可以达到学校，甲路公交车的到站时间是6：09，6：19，6：29，6：39，…，乙路公交车的到站时间是6：00，6：10，6：20，6：30，…，则张老师乘坐上甲路公交车的概率是(　　)
A.10% B.50%
C.60% D.90%
答案　D
解析　张老师在早晨6：00到6：10之间到达车站是等可能的，故张老师在早晨6：00到6：09到达车站的概率为＝90%，故有90%的可能乘坐上甲路公交车.
6.(易错题)将一段长为3米的木棒锯成两段，则这两段木棒长度都不少于1米的概率为________.
答案　
解析　根据题意，只要在木棒的两个三等分点之间锯断就能符合要求，故所求的概率为.
考点一　古典概型的简单计算
1.生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　设5只兔子中测量过某项指标的3只为a1，a2，a3，未测量过这项指标的2只为b1，b2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，