人教第13节 任意角、弧度制及任意角的三角函数（解析版）.docx

第13节 任意角、弧度制及任意角的三角函数
基础知识要夯实
1.角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
(2)分类
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.
2.弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
(2)公式
角α的弧度数公式
|α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
1°＝rad；1 rad＝°
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝lr＝|α|r2
3.任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0).
(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线.
1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
2.若α∈，则tan α>α>sin α.
3.角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.
4.象限角的集合
核心素养要做实
考点一　角的概念及其集合表示
【例1】 (1) 已知与角的终边关于轴对称，则是（ ）
A．第二或第四象限角
B．第一或第三象限角
C．第三或第四象限角
D．第一或第四象限角
【答案】A
【解析】由与角的终边关于轴对称，可得，
∴，[来源:学科网ZXXK]
取可确定终边在第二或第四象限．
（2）集合，，则有（ ）
A． B．Ý
C． D．
【答案】C
【解析】，．
∵是偶数，为整数，
∴，故选C．
【方法技巧】1.利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角：先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角.
2.若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化为2kπ＋α(0≤α<2π)(k∈Z)的形式，然后再根据α所在的象限予以判断.
【跟踪训练】 (1) 将化为的形式是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】 [来源:学*科*网Z*X*X*K]
(2) 若角的终边在函数的图象上，试写出角的集合为 ．
【答案】
【解析】解法一：函数的图象是第二、四象限的平分线，
可以先在～范围内找出满足条件的角，
再进一步写出满足条件的所有角，并注意化简．
解法二：结合图形，与相差的整数倍，由此写出集合．
考点二　弧度制及其应用　
【例2】（1） (经典母题) 设扇形的周长为6，面积为2，则扇形的圆心角是（单位：弧度）（ ）
A．1 B．4
C． D．1或4
【答案】D
【解析】设扇形的半径为，所以弧长为，扇形的圆心角为，
因为扇形的面积为2，
所以，
解得或，
所以扇形的圆心角为1或4．
（2）在半径为10 cm的圆中，的圆心角所对弧长为（ ）
A．cm B．cm
C．cm D．cm
【答案】A
【解析】根据弧长公式，得（cm）．
（3）圆的半径是6 cm，则的圆心角与圆弧围成的扇形面积是（ ）
A． cm2 B． cm2
C．cm2 D． cm2
【答案】B
【解析】根据扇形面积公式，得（cm2）．
【方法技巧】
1.应用弧度制解决问题的方法：
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决.
2.求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量.
【跟踪训练】
1.一圆内切于中心角为、半径为的扇形，则该圆的面积与该扇形的面积之比为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】一圆内切于扇形是指该圆与扇形的两条半径和弧都相切，如图：
由圆半径，得，
∴．
考点三　三角函数的概念
【例3】 (1)(2022·合肥质检) 已知角的终边与单位圆交于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】．
(2) 若三角形的两内角满足，则此三角形必为（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形