人教第27节 直线的方程与两直线的位置关系（解析版）.docx

第27节 直线的方程与两直线的位置关系
基础知识要夯实
1．直线的倾斜角❶
(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．
(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0.
(3)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．
2．斜率公式
(1)定义式：直线l的倾斜角为α，则斜率k＝tan α.
(2)坐标式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)❷在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝.
3．直线方程的5种形式
名称
方程
适用条件
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
不含垂直于x轴的直线
斜截式
y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
两点式

不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)
截距式

不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式❸
Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0
平面内所有直线
平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．即直线与倾斜角是多对一的映射关系．
如果y2＝y1，x2≠x1，则直线与x轴平行或重合，斜率等于0；如果y2≠y1，x2＝x1，则直线与x轴垂直，倾斜角等于90°，斜率不存在．
4.斜率与倾斜角的关系
(1)当直线不垂直于x轴时，直线的斜率和直线的倾斜角为一一对应关系．
(2)当直线l的倾斜角α∈时，α越大，直线l的斜率越大；当α∈时，α越大，直线l的斜率越大．
(3)所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率．
(4)已知倾斜角α的范围，求斜率k的范围，实质是求k＝tan α的值域；已知斜率k的范围，求倾斜角
α的范围，实质是在∪上解关于正切函数的三角不等式问题，可借助正切函数图象来解决此类问题．
(1)把直线Ax＋By＋C＝0(ABC≠0)化为下面的形式：
①化为截距式：Ax＋By＝－C，即.
②化为斜截式：y＝－x－.
③化为点斜式：先求出直线过定点，k＝－，则点斜式为y－＝－(x－0)．
(2)在一般式Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)中，
若A＝0，则y＝－，它表示一条与y轴垂直的直线；
若B＝0，则x＝－，它表示一条与x轴垂直的直线.
5．两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行：
①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.
②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
(2)两条直线垂直：
①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.
6．两条直线的交点的求法
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解．
7．三种距离公式
(1)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离：|P1P2|＝.
(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离：d＝.
　
(3)平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间距离：d＝ .
　
[熟记常用结论]
1．过定点P(x0，y0)的直线系方程：A(x－x0)＋B(y－y0)＝0(A2＋B2≠0)，还可以表示为y－y0＝k(x－x0)和x＝x0.
2．平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．
3．垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋λ＝0.
4．过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)和A2x＋B2y＋C2＝0.
5．点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
6．点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
7．点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)．
8．点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)．
9．点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)．
基本技能要落实
考点一　直线的倾斜角与斜率
【例1】(1)直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的范围是(　　)
A．[0，π)　　　　　 B.∪
C. D. ∪
(2)已知直线l过点P(1,0