人教考点8-3 双曲线及其性质(文理）-2023年高考数学一轮复习小题多维练（全国通用）（解析版）.docx

考点8-3 双曲线及其性质
1．（2021·全国·高考真题（文））点到双曲线的一条渐近线的距离为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.
【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即，
结合对称性，不妨考虑点到直线的距离：.
故选：A.
2．（2021·山东·高三开学考试）已知，分别为双曲线（）的左、右焦点，，是右支上的两点，且直线经过点．若，以为直径的圆经过点，则的离心率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由以为直径的圆经过点得，结合双曲线的定义及勾股定理可得解.
【详解】由题意得，设，则，，，，
在中，由勾股定理得，解得，
则，，
在中，由勾股定理得，化简得，
所以的离心率，
故选：A.
3．（2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练****已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，O为坐标原点，点P为双曲线C中第一象限上的一点，的平分线与x轴交于Q，若
，则双曲线的离心率范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据角平分线的性质得出，，利用三角形的三边关系以及双曲线的性质即可求解.
【详解】设双曲线的半焦距为， 离心率为，
由，则，，
因为是的平分线，
所以,
又因为，
所以，
所以，解得，即，
所以双曲线的离心率取值范围为.
故选：B
4.（2022·全国·高考真题（理））若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．
【答案】
【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．
【详解】解：双曲线的渐近线为，即，
不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，
依题意圆心到渐近线的距离，
解得或（舍去）．
故答案为：．
5．（2022·河南开封·高三模拟（理））已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线垂直于双曲线的一条渐近线，直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，若，则双曲线的离心率为______．
【答案】
【分析】联立直线方程可得点，的坐标，结合，可得，进而可得离心率.
【详解】由题意，双曲线的渐近线为，若过的直线与直线垂直，垂足为，直线与直线交于，，
因为，所以在，之间，
如图所示，直线的方程为，
由，得，
由，得，
由，可得，所以，所以，
所以双曲线的离心率．
同理，过的直线与直线垂直时，双曲线的离心率．综上所述，双曲线的离心率为，
故答案为：.
6.（2022·山东青岛·二模）设O为坐标原点，抛物线与双曲线
有共同的焦点F，过F与x轴垂直的直线交于A，B两点，与在第一象限内的交点为M，若，，则双曲线的离心率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用向量的运算建立方程，转化为离心率e的方程求解.
【详解】因为抛物线的焦点，
由题可知，，即抛物线方程为，
令代入抛物线方程，可得，
代入双曲线方程，可得，
可设，，，
由有
两边平方相减可得， ，
由有：，又
即，由有：
由，解得.故A，B，D错误.
故选：C.
7．（2022·新疆·三模（理））已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与双曲线在第二象限交于点A，M为的中点，且，则双曲线C的渐近线方程是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】依题意可得，即可求出，再由，即可得到，由余弦定理求出，即可得到，再根据，即可得到、的关系，即可得解；
【详解】解：由，即，又，且，
解得或（舍去），
由且为的中点，知，
∴，
∴，∴，又，
∴，∴渐近线方程为.
故选：A
8．（2022·云南师大附中高三阶段练****文））如图，已知，分别为双曲线：的左、右焦点，为第一象限内一点，且满足，，线段与交于点，若，则的离心率为（       ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】由题意可得为线段的中点；由得，结合双曲线定义求得，利用勾股定理可得，即得a,c的关系式，求得答案.
【详解】如图，因为，所以为线段的中点；
由于，即,所以，
所以为等腰三角形，且有
连接，又，点Q在双曲线C上，
由双曲线的定义，可得，故;
所以在中，有，即，
整理得，所以离心率，
故选:B．
9.（2022·全国·高三专题练****如图所示，已知双曲线的右焦点为，双曲线的右支上一点，它关于原点的对称点为，满足，且，