人教第3章 导数及其应用 高考难点突破课1 导数的综合问题 第四课时　双变量问题.doc

第四课时　双变量问题
题型一　转化为同源函数解决
例1 已知函数f(x)＝ln x－ax＋1，其中a为实常数.对于函数图象上任意不同的两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，直线AB的斜率为k，若x1＋x2＋k＞0恒成立，求a的取值范围.
解　由题意，k＝，则原不等式化为x1＋x2＋＞0，不妨设x1＞x2＞0，则(x1＋x2)(x1－x2)＋f(x1)－f(x2)＞0，即x－x＋f(x1)－f(x2)＞0，
即f(x1)＋x＞f(x2)＋x.
设g(x)＝f(x)＋x2＝ln x＋x2－ax＋1，
则g′(x)＝＋2x－a＝，
由已知，当x1＞x2＞0时，不等式g(x1)＞g(x2)恒成立，
则g(x)在(0，＋∞)上是增函数.
所以当x＞0时，g′(x)≥0，
即2x2－ax＋1≥0，
即a≤＝2x＋恒成立，
因为2x＋≥2，当且仅当2x＝，
即x＝时取等号，
所以＝2.
故a的取值范围是(－∞，2].
感悟提升　此类问题一般是给出含有x1，x2，f(x1)，f(x2)的不等式，若能通过变形，把不等式两边转化为结构形式相同的代数式，即转化为同源函数，可利用该函数单调性求解.
训练1 已知函数f(x)＝aln x＋x2，在其图象上任取两个不同的点P(x1，y1)，Q(x2，y
2)(x1＞x2)，总能使得＞2，则实数a的取值范围为(　　)
A.(1，＋∞) B.[1，＋∞)
C.(1，2) D.[1，2]
答案　B
解析　由＞2，x1＞x2＞0，
∴f(x1)－f(x2)＞2x1－2x2，
∴f(x1)－2x1＞f(x2)－2x2，
构造函数g(x)＝f(x)－2x＝aln x＋x2－2x，则g(x1)＞g(x2)，
∴函数g(x)在(0，＋∞)上为增函数，
由于g′(x)＝＋x－2，则g′(x)≥0对任意的x∈(0，＋∞)恒成立，
由g′(x)＝＋x－2≥0，可得a≥－x2＋2x，
当x＞0时，则y＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，当且仅当x＝1时，等号成立，
∴a≥1，因此实数a的取值范围为[1，＋∞).
题型二　整体代换
例2 (2021·德州模拟)设函数f(x)＝x2－(a＋2)x＋aln x，g(x)＝2aln x－4x＋b，其中a＞0，b∈R.已知a＞2，且方程f(x)＝g(x)在(1，＋∞)上有两个不相等的实数根x1，x2，求证：f′＞0.
证明　方程f(x)＝g(x)，即x2－(a－2)x－aln x＝b，
在(1，＋∞)上有两个不等实根x1和x2，不妨设1＜x1＜x2，
则x－(a－2)x1－aln x1＝b①，
x－(a－2)x2－aln x2＝b②，
①－②得a＝，
∵a＞2，f′(x)＝2x－(a＋2)＋＝＝，x＞0，
则f(x)在上单调递减，上单调递增，
∴当x∈时，f′(x)＜0，
当x∈时，f′(x)＞0，
若证f′＞0，只需证＞，
即a＜x1＋x2，只需证
＜x1＋x2，
∵x1＜x2，∴x1＋ln x1＜x2＋ln x2，
即需证x＋2x1－x－2x2＞(x1＋x2)(x1＋ln x1－x2－ln x2)，
整理得ln x1－ln x2＜，
即证ln ＜，
令t＝∈(0，1)，设h(t)＝ln t－，
h′(t)＝＞0，
显然h(t)在(0，1)上单调递增.
∴h(t)＜h(1)＝0，故f′＞0得证.
感悟提升　(1)解此类题的关键是利用代入消元法消去参数a，得到仅含有x1，x2的式子.(2)与极值点x1，x2有关的双变量问题，一般是根据x1，x2是方程f′(x)＝0的两个根，确定x1，x2的关系，再通过消元转化为只含有x1或x2的关系式，再构造函数解题，即把所给条件转化为x1，x2的齐次式，然后转化为关于的函数，把看作一个变量进行整体代换，从而把二元函数转化为一元函数来解决问题.
训练2 设a∈R，函数f(x)＝ln x－ax，若f(x)有两个相异零点x1，x2，求证：ln x1＋ln x2＞2.
证明　由已知得ln x1－ax1＝0，ln x2－ax2＝0，
所以a＝＝，
所以ln x1＋ln x2＞2等价于ln ＞2，
即ln ＞2，
设x1＞x2，令t＝＞1，g(t)＝ln t－，
则g′(t)＝－＝＞0，
所以g(t)＞g(1)＝0，即ln t＞，
即得ln t＞2，所以原题得证.
题型三　构造具体函数解决双变量问题
例3 (12分)已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2有两个零点.a＞0，设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1＋x2＜2.
[规范解答]
证明　求导