人教第5章 平面向量与复数 第4节　复　数.doc

第4节　复　数
考试要求　1.理解复数的基本概念；2.理解复数相等的充要条件；3.了解复数的代数表示法及其几何意义；4.会进行复数代数形式的四则运算；5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.
1.复数的有关概念
(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位).
(2)分类：
项目
满足条件(a，b为实数)
复数的分类
a＋bi为实数⇔b＝0
a＋bi为虚数⇔b≠0
a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).
(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).
(5)模：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R).
2.复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量.
3.复数的运算
(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.
z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.
z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.
＝＝＋i(c＋di≠0).
(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.
如图所示给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－.
1.i的乘方具有周期性
i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.
2.(1±i)2＝±2i，＝i；＝－i.
3.复数的模与共轭复数的关系
z·＝|z|2＝||2.
4.两个注意点
(1)两个虚数不能比较大小；
(2)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　　)
(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.(　　)
(3)原点是实轴与虚轴的交点.(　　)
(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
解析　(1)虚部为b；(2)虚数不可以比较大小.
2.(2021·全国Ⅱ卷)复数在复平面内对应的点所在的象限为(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案　A
解　＝＝＝，所以该复数在复平面内对应的点为，该点在第一象限.
3.(2021·新高考Ⅰ卷)已知z＝2－i，则z(＋i)＝(　　)
A.6－2i B.4－2i
C.6＋2i D.4＋2i
答案　C
解析　因为z＝2－i，所以z(＋i)＝(2－i)·(2＋2i)＝6＋2i，故选C.
4.(2021·全国甲卷)已知(1－i)2z＝3＋2i，则z＝(　　)
A.－1－i B.－1＋i
C.－＋i D.－－i
答案　B
解析　z＝＝＝＝－1＋i.
5.(易错题)已知复数z1满足(2－i)z1＝6＋2i，z1与z2＝m－2ni(m，n∈R)互为共轭复数，则z1的虚部为________，m＋n＝________.
答案　2　3
解析　由(2－i)z1＝6＋2i，得z1＝＝＝＝2＋2i，则z2＝2－2i，则m＝2，n＝1，所以m＋n＝3.
6.如图所示，在复平面内，复数z1和z2对应的点分别是A和B，则＝________.
答案　－－i
解析　由题图得z1＝－2－i，z2＝i，
所以＝＝
＝＝－－i.
考点一　复数的相关概念
1.(2021·浙江卷)已知a∈R，(1＋ai)i＝3＋i(i为虚数单位)，则a＝(　　)
A.－1 B.1 C.－3 D.3
答案　C
解析　因为(1＋ai)i＝－a＋i＝3＋i，
所以－a＝3，即a＝－3.故选C.
2.(2021·全国乙卷)设2(z＋)＋3(z－)＝4＋6i，则z＝(　　)
A.1－2i B.1＋2i C.1＋i D.1－i
答案　C
解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，代入2(z＋)＋3(z－)＝4＋6i，可得4a＋6bi＝4＋6i，所以a＝1，b＝1，故z＝1＋i.故选C.
3.(2021·西安调研)下面关于复数z＝－1＋i(其中i为虚数单位)的结论正确的是(　　)