人教版微专题 二次求导函数处理问题 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练.docx

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微专题：二次求导函数处理问题
【考点梳理】
二次求导的原因是导函数无法用初等方程的求解，尤其是超越方程，使用二次求导可以化解很多一次求导函数零点“求之不得”的问题。
方法
二次求导
使用情景
对函数一次求导得到之后，解不等式难度较大甚至根本解不出.
解题步骤
设，再求，求出的解，即得到函数的单调性，得到函数的最值，即可得到的正负情况，即可得到函数的单调性.
【典例分析】
典例1．设函数的导函数为．
(1)当时，研究的单调性；
(2)讨论极值点的个数．
典例2．已知函数.
(1)若关于的不等式恒成立，求的取值范围；
(2)若，是的两个极值点，且，证明：.
典例3．已知函数f（x）＝2ax﹣ln（x+1）+1，a∈R．
(1)讨论（x）的单调性；
(2)当x＞0，0＜a≤1时，求证：eax＞f（x）．
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【双基达标】
4．函数，有两个不同的极值点，，
(1)求实数a的取值范围；
(2)当的取值范围为时，总存在两组不同的数对使得方程成立，求实数的取值范围.
5．已知函数．
(1)求的最小值；
(2)设，若有且仅有两个实根，证明：．
6．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)设函数有两个不同的零点（），
（ⅰ）求证；（为自然对数的底数）；
（ⅱ）若满足，求a的最大值.
7．已知函数．
(1)求证：函数在定义域上单调递增；
(2)设区间（其中），证明：存在实数，使得函数在区间I上总存在极值点．
8．已知函数，且0是的一个极值点．
(1)求的单调区间；
(2)若，求的取值范围．
9．设a为实数，函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)判断函数零点的个数．
10．已知函数．
(1)若函数在处的切线过点，求a的值；
(2)设函数，若时，恒成立，求实数a的取值范围．
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【高分突破】
11．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，证明：．（注，）
12．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)设有两个零点，若，证明：．
13．已知函数．
(1)求证：；
(2)若恒成立，求实数．
14．已知函数．
(1)当且时，试判断函数的单调性；
(2)若在上是单调函数，求ab的最小值．
15．已知函数，.
(1)若函数在区间上的最小值为3，求实数的值；
(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
16．已知函数．
(1)若时，过点作曲线的切线l，求l的方程；
(2)若函数在处取极小值，求a的取值范围．
17．设函数.
(1)求的单调区间；
(2)当时，恒成立，求整数的最大值.
18．已知函数，，.
(1)当时，求证：对于任意正实数x恒成立.
(2)若函数在上有且仅有两个极值点，求实数t的取值范围.
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19．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)当，，求a的取值范围．
20．已知函数，.
(1)求的极大值；
(2)若恒成立，求实数a的取值范围.
21．已知函数．
(1)求证：在上单调递减
(2)若对于任意，都有恒成立，求正实数a的取值范围．
22．已知函数（其中为自然对数的底数）.
(1)若曲线在点处的切线与x轴交于点，求a的值；
(2)求证：时，存在唯一极值点，且.
23．设函数.
(1)证明不等式：；
(2)，若为函数g（x）的两个不等于1的极值点，设，，记直线PQ的斜率为k，求证：.
24．已知函数f（x）＝ex＋ax·sinx．
(1)求y＝f（x）在x＝0处的切线方程；
(2)当a＝－2时，设函数g（x）＝，若x0是g（x）在（0，π）上的一个极值点，求证：x0是函数g（x）在（0，π）上的唯一极小值点，且e－2<g（x0）<e－．
25．已知函数，其中．
(1)若函数在单调递增，求m的取值范围；
(2)已知函数存在两个极值点（），当时，求的取值范围．
26．（1）讨论，的单调性：
（2）已知，，证明：时，．
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27．已知函数，.
(1)若函数在区间上的最大值为20，求实数a