人教版专题05 立体几何（选填题）（理科专用）（教师版）.docx

专题05 立体几何（选填题）（理科专用）
1．【2022年新高考1卷】南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148．5m时，相应水面的面积为140．0km2；水位为海拔157．5m时，相应水面的面积为180．0km2，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148．5m上升到157．5m时，增加的水量约为（7≈2.65）（       ）
A．1.0×109m3 B．1.2×109m3 C．1.4×109m3 D．1.6×109m3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．
【详解】
依题意可知棱台的高为MN=157.5−148.5=9(m)，所以增加的水量即为棱台的体积V．
棱台上底面积S=140.0km2=140×106m2，下底面积S'=180.0km2=180×106m2，
∴V=13ℎS+S'+SS'=13×9×140×106+180×106+140×180×1012
=3×320+607×106≈96+18×2.65×107=1.437×109≈1.4×109(m3)．
故选：C．
2．【2022年新高考1卷】已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且3≤l≤33，则该正四棱锥体积的取值范围是（       ）
A．18,814 B．274,814 C．274,643 D．[18,27]
【答案】C
【解析】
【分析】
设正四棱锥的高为ℎ，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.
【详解】
∵ 球的体积为36π，所以球的半径R=3,
设正四棱锥的底面边长为2a，高为ℎ，
则l2=2a2+ℎ2，32=2a2+(3−ℎ)2,
所以6ℎ=l2，2a2=l2−ℎ2
所以正四棱锥的体积V=13Sℎ=13×4a2×ℎ=23×(l2−l436)×l26=19l4−l636，
所以V'=194l3−l56=19l324−l26，
当3≤l≤26时，V'>0，当26<l≤33时，V'<0，
所以当l=26时，正四棱锥的体积V取最大值，最大值为643，
又l=3时，V=274，l=33时，V=814,
所以正四棱锥的体积V的最小值为274，
所以该正四棱锥体积的取值范围是274，643.
故选：C.
3．【2022年新高考2卷】已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为33和43，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（       ）
A．100π B．128π C．144π D．192π
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径r1,r2，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．
【详解】
设正三棱台上下底面所在圆面的半径r1,r2，所以2r1=33sin60∘,2r2=43sin60∘，即r1=3,r2=4，设球心到上下底面的距离分别为d1,d2，球的半径为R，所以d1=R2−9，d2=R2−16，故d1−d2=1或d1+d2=1，即R2−9−R2−16=1或R2−9+R2−16=1，解得R2=25符合题意，所以球的表面积为S=4πR2=100π．
故选：A．
4．【2021年甲卷理科】2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（       ）
A．346 B．373 C．446 D．473
【答案】B
【解析】
【分析】
通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得，进而得到答案．
【详解】
过作，过作，
故，
由题，易知为等腰直角三角形，所以．
所以．
因为，所以
在中，由正弦定理得：
，
而，
所以
所以．
故选：B．
【点睛】
本题关键点在于如何正确将的长度通过作辅助线的方式转化为．
5．【2021年甲卷理科】已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由题可得为等腰直角三角形，得出外接圆的半径，则可求得到平面的距离，进而求得体积.
【详解】
，为等腰直角三角形，，
则外接圆的半