人教第1节 集合-备战2023年高考数学一轮复习考点帮（全国通用）（解析版）.docx

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第1节 集合
（本卷满分150分，考试时间120分钟。）
一、单选题
1．已知集合，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，∴，∴集合.
∵，则，解得或，
∴集合，∴.故选：D.
2．已知集合，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，则，.故选：D.
3．设集合，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，则，又，所以.故选：A.
4．已知集合，，若，则实数的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】若，则故选：A．
5．设全集，集合，，则下面Venn图中阴影部分表示的集合是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】集合，，所以.
图中阴影部分表示的集合为.故选：C
6．已知表示正整数集合，若集合，则中元素的个数为（       ）
A．16 B．15 C．14 D．13
【答案】D
【解析】由题设，又，
由，则，
由，则，
由，则，
同理，均属于集合A，
所以第一象限中有13个点属于集合A.故选：D
7．设集合，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，解得，即集合 所以故选：A
8．已知集合，则A中元素的个数为（       ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【解析】由椭圆的性质得，又, 所以集合共有11个元素.故选：C
二、多选题
9．集合在平面直角坐标系中表示线段的长度之和记为.若集合，，则下列说法中正确的有（       ）
A．若，则实数的取值范围为
B．存在，使
C．无论取何值，都有
D．的最大值为
【答案】ACD
【解析】对于A，因为，所以，解得，故A正确.
对于B和C，直线过定点，因为，故C正确，B错误.
对于D，设原点到直线的距离为，则，所以的最大值，即的最大值，于是的最大值为，故D正确.故选：ACD
10．若非空集合G和G上的二元运算“”满足：①，；②，对，：③，使，，有；④，，则称构成一个群.下列选项对应的构成一个群的是（       ）
A．集合G为自然数集，“”为整数的加法运算
B．集合G为正有理数集，“”为有理数的乘法运算
C．集合(i为虚数单位)，“”为复数的乘法运算
D．集合，“”为求两整数之和被7除的余数
【答案】BCD
【解析】A．时，不满足③，若，则由得，若，则在中设，由得，所以不能构成群；
B．G为正有理数集，①任意两个正有理数的积仍然为正有理数，②显然，对任意，，③对任意正有理数，也是正有理数，且，即，④有理数的乘数满足结合律，B中可构造群；
C．(i为虚数单位)，①可验证中任意两数（可相等）的乘积仍然属于；②，满足任意，有；③，满足任意，存在，有，实质上有；④复数的乘法运算满足结合律，C中可构造群；
D．，①任意两个整数的和不是整数，它除以7的余数一定属于，②，满足对任意，，③，，，除以7余数为0；④加法满足交换律，又除以7的余数等于除以7的余数加除以7的余数的和再除以7所得余数，因此，，D中可构造群；故选：BCD．
11．已知集合，定义上两点，，且，则下列说法正确的是（       ）
A．若，，则
B．当时，设C为上一点，在△ABC中，若，则
C．当时，设C为上一点，则
D．若，，设为上一点，其中，则满足的点P有125个
【答案】ACD
【解析】对于A，若，，则，所以选项A正确；
对于B，在△ABC中，若，则，
设，，，
则，
而，，但不一定成立，故选项B错误；
对于C，设，，，根据绝对值不等式的性质有，，，
所以，故选项C正确；
对于D，，①，②，③，
所以，当且仅当①②③中的等号同时成立时，，又.
所以，，，又，所以x，y，z均为集合中的元素，，故选项D正确.故答案为：ACD
12．两个集合和之间若存在一一对应关系，则称和等势，记为．例如：若为正整数集，为正偶数集，则，因为可构造一一映射．下列说法中正确的是（       ）
A．两个有限集合等势的充分必要条件是这两个集合的元素个数相同
B．对三个无限集合、、，若，，则
C．正整数集与正实数集等势
D．在空间直角坐标系中，若表示球面：上所有点的集合，表示平面上所有点的集合，则
【答案】ABD
【解析】对于A选项，设有限集合，，
充分性：若，则两个集合和之间若存在一一对应关系，
则对任意的，存在，使得与对应，故，充分性成立.
必要性：若，即集合、的元素个数相等，
可构造映射，使得，故，必要性成立，A对；
对于B选项，对三个无限集合、、，