人教第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 第8节　函数与方程.docx

第8节　函数与方程
考试要求　结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.
1.函数的零点
(1)函数零点的概念
对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.
(2)函数零点与方程根的关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.
(3)零点存在性定理
如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0.则函数y＝f(x)在(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根.
2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象
与x轴的交点
(x1，0)，(x2，0)
(x1，0)
无交点
零点个数
2
1
0
1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根.
2.由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件.
3.周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数f(x)＝lg x的零点是(1，0).(　　)
(2)图象连续的函数y＝f(x)(x∈D)在区间(a，b)⊆D内有零点，则f(a)·f(b)<0.(　　)
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√
解析　(1)f(x)＝lg x的零点是1，故(1)错误.
(2)f(a)·f(b)＜0是连续函数y＝f(x)在(a，b)内有零点的充分不必要条件，故(2)错误.
2.函数f(x)＝x＋ln x－3的零点所在的区间为(　　)
A.(0，1) B.(1，2)
C.(2，3) D.(3，4)
答案　C
解析　∵f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
且f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3>0，
故f(x)在(2，3)上有唯一零点，故选C.
3.(2019·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0，2π]的零点个数为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
答案　B
解析　由2sin x－sin 2x＝0，得sin x＝0或cos x＝1.
又x∈[0，2π]，由sin x＝0，
得x＝0，π，2π.
由cos x＝1，得x＝0，2π.
∴f(x)＝0有三个实根0，π，2π，
即f(x)在[0，2π]上有三个零点.
4.(易错题)若二次函数f(x)＝x2－2x＋m在区间(0，4)上存在零点，则实数m的取值范围是________.
答案　(－8，1]
解析　二次函数f(x)的图象的对称轴为x＝1，若在区间(0，4)上存在零点，只需f(1)≤0且f(4)>0即可，即－1＋m≤0且8＋m>0，解得－8<m≤1.
5.(易错题)设函数f(x)＝则g(x)＝f(x)－的零点的集合为________.
答案　
解析　由题意知，若x≤0，则2x＝，解得x＝－1；
若x>0，则|log2x|＝，
解得x＝或x＝.
故零点的集合为.
6.(2021·唐山检测)方程2x＋3x＝k的解在[1，2)内，则k的取值范围是________.
答案　[5，10)
解析　令函数f(x)＝2x＋3x－k，则f(x)在R上是增函数.当方程2x＋3x＝k的解在(1，2)内时，f(1)·f(2)<0，
即(5－k)(10－k)<0，解得5<k<10.
又当f(1)＝0时，k＝5.
综上，实数k的取值范围是[5，10).
考点一　函数零点所在区间的判定
1.函数f(x)＝ex－1－－1的零点所在区间是(　　)
A.(－1，0) B.(0，1)
C.(1，2) D.(2，3)
答案　C
解析　f(x)＝ex－1－－1，则f(1)＝－1<0，f(2)＝e－>0.
故函数在(1，2)上有零点.
2.(2021·西安调研)函数f(x)＝log8x－的一个零点所在的区间是(　　)
A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)
答案　B
解析　∵f(1)＝－<0，f(2)