人教第09节 简单的线性规划问题（解析版）.docx

第9节 简单的线性规化问题
基础知识要夯实
1.二元一次不等式(组)表示的平面区域
不等式
表示区域
Ax＋By＋C>0
直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域
不包括边界直线
Ax＋By＋C≥0
包括边界直线
不等式组
各个不等式所表示平面区域的公共部分
2.点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线Ax＋By＋C＝0的两侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0；位于直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0.
3.线性规划的有关概念
名称
意义
线性约束条件
由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组，是对x，y的约束条件
目标函数
关于x，y的解析式
线性目标函数
关于x，y的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数达到最大值或最小值的可行解
线性规划问题
求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题
[微点提醒]
1.画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：
(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；
(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0，1)或(1，0)来验证.
2.判定二元一次不等式表示的区域
(1)若B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方.
(2)若B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方.
典型例题剖析
考点一　二元一次不等式(组)表示的平面区域
【例1】 (1)在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是(　　)
A. B. C. D.2
【答案】B　
【解析】作出不等式组表示的平面区域是以点O(0，0)，B(－2，0)和A(1，)为顶点的三角形区域，如图所示的阴影部分(含边界)，由图知该平面区域的面积为×2×＝.
【规律方法】1.二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域.
2.求平面区域的面积：
(1)首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；
(2)对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和.
【训练1】 (2022·玉溪模拟)已知不等式组所表示的平面区域为面积等于的三角形，则实数k的值为(　　)
A.－1 B.－ C. D.1
【答案】D
【解析】由题意知k>0，且不等式组所表示的平面区域如图所示.
∵直线y＝kx－1与x轴的交点为，
直线y＝kx－1与直线y＝－x＋2的交点为，
∴三角形的面积为××＝，
解得k＝1或k＝，经检验，k＝不符合题意，∴k＝1.
考点二　线性规划中的最值问题
角度1　求线性目标函数的最值
【例2－1】 (一题多解)(2018·全国Ⅲ卷)若变量x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值是________.
【答案】3
【解析】法一　作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，画出直线y＝－3x，平移该直线，由图可知当平移后的直线经过直线x＝2与直线x－2y＋4＝0的交点A(2，3)时，z＝x＋y取得最大值，故zmax＝2＋×3＝3.
法二　画出可行域(如上图)，由图知可行域为三角形区域，易求得顶点坐标分别为(2，3)，(2，－7)，(－2，1)，将三点坐标代入，可知
zmax＝2＋×3＝3.
角度2　求非线性目标函数的最值
【例2－2】 (1)(2022·济南一模)若变量x，y满足约束条件则的最大值为(　　)
A.1 B.3 C. D.5
【答案】C
【解析】不等式组表示平面区域是以(1，1)，，(2，2)为顶点的三角形区域(包含边界)(图略).表示平面区域内的点与原点的连线的斜率，由题意得点与原点的连线斜率最大，即的最大值为＝.　
角度3　线性规划中的参数问题
【例2－3】 (2022·西安质检)已知实数x，y满足约束条件若目标函数z＝y－ax(a≠0)取得最大值时的最优解有无数个，则a的值为(　　)
A.2 B.1
C.1或2 D.－1
【答案】B
【解析】画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示.
由z＝y－ax(a≠0)得y＝ax＋z.
因为a≠0，所以要使z＝y－ax取得最大值时的最优解有无数个，故必有a>0.
①当直线y＝a