人教第9章 平面解析几何 第5节　椭圆 第二课时　直线与椭圆.docx

第二课时　直线与椭圆
考点一　直线与椭圆的位置关系
1.若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　)
A.m>1 B.m>0
C.0<m<5且m≠1 D.m≥1且m≠5
答案　D
解析　法一　由于直线y＝kx＋1恒过点(0，1)，所以点(0，1)必在椭圆内或椭圆上，
则0<≤1且m≠5，
故m≥1且m≠5.
法二　由
消去y整理得(5k2＋m)x2＋10kx＋5(1－m)＝0.
由题意知Δ＝100k2－20(1－m)(5k2＋m)≥0对一切k∈R恒成立，
即5mk2＋m2－m≥0对一切k∈R恒成立.
由于m>0且m≠5，∴m≥1－5k2恒成立，
∴m≥1且m≠5.
2.已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不重合的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点.
解　将直线l的方程与椭圆C的方程联立，
得方程组
将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③
方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)当Δ>0，即－3<m<3时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线
l与椭圆C有两个不重合的公共点.
(2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点.
(3)当Δ<0，即m<－3或m>3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解.这时直线l与椭圆C没有公共点.
感悟提升　研究直线与椭圆位置关系的方法
(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数.
(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.
考点二　中点弦及弦长问题
角度1　中点弦问题
例1 已知P(1，1)为椭圆＋＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为________________.
答案　x＋2y－3＝0
解析　法一　易知此弦所在直线的斜率存在，
∴设其方程为y－1＝k(x－1)，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2).
由
消去y得，(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0，
∴x1＋x2＝.
又∵x1＋x2＝2，
∴＝2，解得k＝－.
经检验，k＝－满足题意.
故此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，
即x＋2y－3＝0.
法二　易知此弦所在直线的斜率存在，
∴设斜率为k，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，①
＋＝1，②
①－②得
＋＝0.
∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
∴＋y1－y2＝0.
又x2－x1≠0，∴k＝＝－.
经检验，k＝－满足题意.
∴此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，
即x＋2y－3＝0.
感悟提升　弦及弦中点问题的解决方法
(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立、消元，利用根与系数关系表示中点；
(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率.
角度2　弦长问题
例2 (2022·贵阳联考)在平面直角坐标系中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为2，且过点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过椭圆C左焦点F1的直线l(不与坐标轴垂直)与椭圆C交于A，B两点，若点H满足|HA|＝|HB|，求|AB|.
解　(1)由题意得2c＝2，即c＝1，
所以a2＝b2＋c2＝b2＋1.
将代入＋＝1，可得＋＝1，
即2b2＋b2＋1＝2b2(b2＋1)，整理得(2b2＋1)(b2－1)＝0，
解得b2＝－(舍)或b2＝1，则a2＝2，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)由题意得F1(－1，0).
设直线l的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立椭圆C与直线l的方程，
可得x2＋2k2(x＋1)2＝2，
整理得(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，
Δ＝16k4－4(2k2＋1)(2k2－2)＝8(k2＋1)>0，
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
设AB的中点M(x0，y0)，
则x0＝＝－，
y0＝k(x0＋1)＝.
因为点H满足|HA|＝|HB|，
所以kMH＝－，即＝－，
解得k＝±1，
则x1＋x2＝－＝－，
x1x2＝＝0，
所以|AB|＝＝×＝.
感悟提升　1.弦长的求解方法