人教第10节 利用导数研究函数的单调性（解析版）.docx

第10节 利用导数研究函数的单调性
基础知识要夯实
1.函数的单调性与导数的关系
函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，
(1)若f′(x)>0，则f(x)在区间(a，b)内是单调递增函数；
(2)若f′(x)<0，则f(x)在区间(a，b)内是单调递减函数；
(3)若恒有f′(x)＝0，则f(x)在区间(a，b)内是常数函数．
讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则.
2.常用结论汇总——规律多一点
(1)在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．
(2)可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．
核心素养要做实

【例1】已知函数f(x)＝ln x＋－ (a∈R且a≠0)，讨论函数f(x)的单调性．
【解析】　f′(x)＝ (x>0)，
①当a<0时，f′(x)>0恒成立，
∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
②当a>0时，由f′(x)＝>0，得x>；
由f′(x)＝<0，得0<x<，
∴函数f(x)在上单调递增，在上单调递减．
综上所述，当a<0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>0时，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减．
【方法技巧】讨论函数f(x)单调性的步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)，并求方程f′(x)＝0的根；
(3)利用f′(x)＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f′(x)的正负，由符号确定
f(x)在该区间上的单调性．
[提醒]　研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．
【跟踪训练】
1．函数f(x)＝ex－在定义域内为________函数(填“增”或“减”)．
【答案】增
【解析】由已知得函数f(x)的定义域为{x|x≠－1}．
∵f(x)＝ex－，∴f′(x)＝ex＋>0.
∴f(x)在定义域内为增函数．
2．已知函数f(x)＝aln x＋x2(a∈R且a≠0)，讨论函数f(x)的单调性．
【解析】函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
因为f(x)＝aln x＋x2，所以f′(x)＝＋2x＝.
①当a>0时，f′(x)>0，
所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
②当a<0时，令f′(x)＝0，解得x＝ (负值舍去)，
当0<x< 时，f′(x)<0，
所以函数f(x)在上单调递减；
当x> 时，f′(x)>0，
所以函数f(x)在上单调递增．
综上所述，当a>0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a<0时，函数f(x)在上单调递减，在上单调递增．

【例2】(2022·湘东五校联考节选)已知函数f(x)＝(ln x－k－1)x(k∈R)．当x>1时，求f(x)的单调区间．
【解析】f′(x)＝·x＋ln x－k－1＝ln x－k，
①当k≤0时，因为x>1，所以f′(x)＝ln x－k>0，
所以函数f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)，无单调递减区间．
②当k>0时，令ln x－k＝0，解得x＝ek，
当1<x<ek时，f′(x)<0；当x>ek时，f′(x)>0.
所以函数f(x)的单调递减区间是(1，ek)，单调递增区间是(ek，＋∞)．
综上所述，当k≤0时，函数f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)，无单调递减区间；当k>0时，函数f(x)的单调递减区间是(1，ek)，单调递增区间是(ek，＋∞)．
【方法技巧】利用导数求函数单调区间的方法
(1)当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)>0或f′(x)<0求出单调区间．
(2)当方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，依照实根把函数的定义域划分为几个区间，确定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间．
(3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据f′(x)结构特征，利用图象与性质确定f′(x)的符号，从而确定单调区间．
【提醒】若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”字隔开．
【跟踪训练】
1．若幂函数f(x)的图象过点，则函数g(x)＝exf(x)的单调递减区间为(　　)
A．(－∞，0)　　　　　　　 　B．(－∞，－2)
C．(－2，－1) D．(－2,0)
【答案】D
【解析】设幂函数f(x)＝xα，因为图象过点，所以＝α，α＝2，所以f(x)＝x2，故g(x)＝exx2，