人教第14节 同角三角函数的基本关系与诱导公式（解析版）.docx

第14节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
基础知识要夯实
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：＝tan__α.
2.三角函数的诱导公式
公式
一[来源:Z*xx*k.Com]
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin α
－sin__α
－sin__α
sin__α
cos__α
cos__α
余弦
cos α
－cos__α
cos__α
－cos__α
sin__α
－sin__α
正切
tan α
tan__α
－tan__α
－tan__α
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
3.常用结论
（1）同角三角函数关系式的常用变形
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α.
（2）诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.
（3）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
核心素养要做实
考点一　同角三角函数基本关系式的应用
【例1】 (1)(2022·兰州测试) 若，则（ ）
A． B．2
C． D．－2
【答案】B
【解析】由，
得，
又，
所以，
即，
从而，
此时．
所以．[来源:学.科.网]
(2)(2022·平顶山联考) 如果，那么的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】，
【方法技巧】1.利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化.
2.应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.
3.注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
【跟踪训练】
1.若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【解析】∵，故选D．
2.已知是第二象限的角，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由得．故选A
考点二　诱导公式的应用
【例2】 (1)(2022·衡水中学调研) 已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】．
(2) 若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，解得，
原式．
规律方法　1.诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
2.含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.
【训练2】 (1)(2020·北京卷)在已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，
∴．
（2）化简 ．
【答案】
【解析】原式＝．
考点三　同角三角函数基本关系式与诱导公式的活用
【例3】 (1)(2020·菏泽联考) 已知，且是第四象限角，则 ．
【答案】
【解析】∵，
∴，
又为第四象限角，
∴，
∴．
(2)(2020·福州调研) 若，求的值．
【解析】，设要求的式子为，
则
．
【方法技巧】1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.
2.(1)注意角的范围对三角函数值符号的影响，开方时先判断三角函数值的符号；
(2)熟记一些常见互补的角、互余的角，如－α与＋α互余等.
【跟踪训练】
1.(2022湖北七州市联考) 已知是方程的根，
求的值．
【解析】∵是方程的根，
∴或，
而，故，
∴，
故．
∴原式
．
2.化简．
【解析】原式
．
达标检测要扎实
一、单选题
1．已知是第二象限角，且，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
因为是第二象限角，所以，故选：A