人教考点8-4 抛物线及其性质(文理）-2023年高考数学一轮复习小题多维练（全国通用）（解析版）.docx

考点8-4 抛物线及其性质
1．（2021·全国·高考真题）抛物线的焦点到直线的距离为，则（       ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得的值.
【详解】抛物线的焦点坐标为，
其到直线的距离：，
解得：(舍去).
故选：B.
2．（2023·全国·高三专题练****已知O为坐标原点，抛物线的焦点为F，点M在抛物线上，且，则M点到轴的距离为（       ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】设点的坐标，由焦半径公式列出方程，求出点的横坐标，从而求出纵坐标，得到答案.
【详解】由题意得，所以准线为，
又因为，设点的坐标为，
则有，解得：
将代入解析式得：，
所以M点到x轴的距离为．
故选：D．
3．（2022·陕西·交大附中模拟预测（文））点在抛物线上，则到直线的距离与到直线的距离之和的最小值为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由抛物线定义可知最小值就是焦点到直线的距离，由点到直线距离公式得解.
【详解】由抛物线定义到直线的距离等于到抛物线焦点距离，
所以到直线的距离与到直线的距离之和的最小值，
即焦点到直线的距离：.
故选:B.
4.（2019·北京·高考真题（文））设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为__________．
【答案】(x-1)2+y2=4.
【分析】由抛物线方程可得焦点坐标，即圆心，焦点到准线距离即半径，进而求得结果.
【详解】抛物线y2=4x中，2p=4，p=2，
焦点F（1,0），准线l的方程为x=-1，
以F为圆心，
且与l相切的圆的方程为 (x-1)2+y2=22,即为(x-1)2+y2=4.
【点睛】本题主要考查抛物线的焦点坐标，抛物线的准线方程，直线与圆相切的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
5．（2023·全国·高三专题练****已知点F是抛物线的焦点，A，B，C为E上三点，且，则___________．
【答案】12
【分析】根据题意可得F为△ABC的重心，根据重心坐标公式解得，再结合抛物线定义代入整理计算．
【详解】由题意知，设，，，
，F为△ABC的重心
，即，
则．
故答案为：12．
6.（2022·天津·高考真题）已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点A，若，则双曲线的标准方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由已知可得出的值，求出点的坐标，分析可得，由此可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】抛物线的准线方程为，则，则、，
不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点，
因为且，则为等腰直角三角形，
且，即，可得，
所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为.
故选：C.
7．（2022·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知以F为焦点的抛物线上的两点A，B，满足，则弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是（       ）
A．2 B． C． D．4
【答案】B
【分析】根据抛物线焦点弦的性质以及，联立可得，进而可用对勾函数的性质求的最值，进而可求.
【详解】解法1：抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
设，，则∵，由抛物线定义可知，∴，又因为，所以即，由①②可得：
所以.∵，
当时，，当时，，
∴，则弦AB的中点到C的准线的距离，d最大值是.
∴弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是，
故选：B.
解法2：弦AB的中点到C的准线的距离，根据结论，，，
故选：B.
8．（2022·山西吕梁·模拟预测（理））已知抛物线：的焦点为F，C的准线与对称轴交于点D，过D的直线l与C交于A，B两点，且，若FB为∠DFA的角平分线，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据抛物线的定义，过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为，，然后利用，得到，进而利用，化简，可求出的值
【详解】
：，则，所以．过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为，，则，因为FB为∠DFA的平分线，则，又，所以，所以，
又，所以．
故选：B
9.（2023·河北·高三阶段练****设抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B．设，与相交于点D．若，则的面积为__________．
【答案】
【分析】根据抛物线的定义可得四边形ABCD为平行四边形，进而可求出点坐标，即可求解.