人教考点8-5 圆锥曲线综合应用(文理）-2023年高考数学一轮复习小题多维练（全国通用）（解析版）.docx

考点8-5 圆锥曲线综合应用
1．（2022·全国·高三专题练****已知A，B，P是双曲线（，）上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积为，则该双曲线的离心率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设，，根据对称性，知，然后表示出，又由于点A，P在双曲线上，所以将其坐标代入方程中，两式相减，结合前面的式子可得，化简可求出离心率
【详解】设，，根据对称性，知，
所以．
因为点A，P在双曲线上，
所以，两式相减，得，
所以
所以，
所以，所以．
故选：D
2．（2022·江西·高三阶段练****理））已知双曲线的一个焦点坐标为，当取最小值时，C的离心率为（       ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】根据双曲线的标准方程可得，根据的关系可得，由基本不等式的求解即可得，进而，即可求离心率.
【详解】由可得，所以，
故可得，所以，
当且仅当，即时等号成立，所以，，又，
所以，
故选：B．
3．（2023·全国·高三专题练****已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，结合椭圆与双曲线的几何性质，列出方程，求得的值，即可求解.
【详解】由椭圆的标准方程为，可得，即，
因为双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，所以双曲线中，半焦距，
又因为双曲线满足，即，
又由，即，解得，可得，
所以双曲线的方程为.
故选：A．
4.（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练****设抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上，已知点A的横坐标为，，则的面积___________.
【答案】4
【分析】先由抛物线的定义得点K的横坐标为，进而求得轴，再计算的面积即可.
【详解】
如图，作于，由抛物线定义知，又点A的横坐标为，则点K的横坐标为，
点F的横坐标为，则轴，则.
故答案为：4.
5．（2023·全国·高三专题练****已知双曲线的实轴为，对于实轴上的任意点，在实轴上都存在点，使得，则双曲线的两条渐近线夹角的最大值为___________；
【答案】
【分析】通过分析得到，设渐近线与x轴的夹角为，则，求出，从而求出双曲线的两条渐近线夹角的最大值.
【详解】对于实轴上的任意点，在实轴上都存在点，使得，
当点位于原点时，则要，才能满足要求，
所以，设渐近线与x轴的夹角为，则，
因为，则双曲线的两条渐近线夹角为，
故答案为：
6.（2021·黑龙江·大庆实验中学高三开学考试（理））已知点为抛物线：（）的焦点，点
为点关于原点的对称点，点在抛物线上，则下列说法错误的是（       ）
A．的范围决定了点的个数
B．不存在使得的点
C．使得的点有且仅有个
D．使得的点有且仅有个
【答案】D
【分析】问题可转化为过点作抛物线的切线,求出切线斜率,即可得到的最大值,结合抛物线的图像,问题即可解决.
【详解】
设焦点为,则
设过点抛物线的切线方程为:
代入 后整理得
因为相切, 故
化简得, 解得 , 所以的最大值为,
做出图像:显然当在切点位置时,最大为,此时点有两个（轴上下各有一个,位置①）;
当时,点有四个（轴上下各有两个,位置②;
当时,点即为原点,只有一个,
故ABC选项的命题正确, D选项错误.
故选：D
7．（2022·河南·高三开学考试（文））在正方体中，E为的中点，F为底面ABCD上一动点，且EF与底面ABCD所成的角为．若该正方体外接球的表面积为，则动点F的轨迹长度为（       ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】取AD的中点H，连接EH，判断出为EF与底面ABCD所成的角，即．设正方体的棱长为a，利用外接球的表面积求出.判断出F的轨迹为以H为圆心，为半径的圆在正方形ABCD区域内的部分，利用弧长公式求出动点F的轨迹的长度.
【详解】
如图1，取AD的中点H，连接EH，则.
在正方体中，底面ABCD，所以底面ABCD.
所以为EF与底面ABCD所成的角，则．
设正方体的棱长为a，因为该正方体外接球的表面积为，
所以，解得，
所以，从而，
所以F的轨迹为以H为圆心，为半径的圆在正方形ABCD区域内的部分，如图2．
在图2中，，
所以，则，
根据对称性可知，所以，
故动点F的轨迹周长为．
故选：A
8．（2022·天津市武清区杨村第一中学模拟预测）已知第一象限内的点既在双曲线
的渐近线上，又在抛物线上，设的左、右焦点