人教考向20等比数列及其前n项和（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（解析版）.docx

考向20 等比数列
1（2021年甲卷理科第7题）等比数列的公比为，前项和为．设甲：．乙：是递增数列，则
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲不是乙的充分条件也不是必要条件
【答案】B
【解析】时，是递减数列，所以甲不是乙的充分条件；是递增数列，可以推出，可以推出，甲是乙的必要条件．故选：B．
2.（2021年甲卷文科第9题）记为等比数列的前项和．若，，则
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【解析】由题意可知，，， 因为是等比数列，所以，从而．
3.（2022年乙卷理科第8题，文科第10题）已知等比数列的前3项和为168，，则
A．14 B．12 C．6 D．3
【答案】D
【解析】设等比数列首项，公比
由题意，，即，即
解得，，，所以
4．（2021年上海第8题）已知等比数列，的各项和为，则数列的各项和为________．
【答案】
【解析】因为的各项和为，，所以，解得，所以
即数列的各项和为
5.（2022新课标2卷第17题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且
（1）证明：；
（2）求集合中元素的个数．
【答案】（1）见解析；（2）9．
【解析】（1）设等差数列公差为
由，知，故
由，知，
故；故，整理得，得证．
（2）由（1）知，由知：
即，即，
因为，故，解得
故集合中元素的个数为9个．
1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件．利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．
2.在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．　
3.解决等比数列基本运算问题的两种常用思想
(1)方程的思想:等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解;
(2)分类讨论的思想:等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝.
1．等比数列的单调性
当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列；
当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列；
当q＝1时，{an}是常数列．
2．等比数列与指数函数的关系
当q≠1时，an＝·qn，可以看成函数y＝cqx，是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{an}各项所对应的点都在函数y＝cqx的图象上．
3．等比数列{an}的前n项和Sn＝A＋B·Cn⇔A＋B＝0，公比q＝C.(A，B，C均不为零)
1．在等比数列中，易忽视每一项与公比都不为0.
2．在求等比数列的前n项和时，易忽略q＝1这一特殊情形．
1．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1＝－2，S3＝－6，且公比q≠1，则a3＝(　　)
A．－2 B．2 C．－8 D．－2或－8
【答案】C
【解析】依题意知解得q＝－2(q＝1舍去)，故a3＝a1q2＝－2×(－2)2＝－8
2．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4＝(　　)
A．16　　　 　B．15　　 　　C．8　　　 　D．7
【答案】B
【解析】设公比为q，由题意得4a2＝4a1＋a3，即4a1q＝4a1＋a1q2，又a1≠0，所以4q＝4＋q2，解得q＝2，所以S4＝＝15，故选B.
3．已知在等比数列{an}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q的值是(　　)
A．1　　　 B．－ C．1或－ D．－1或
【答案】C
【解析】当q＝1时，an＝7，S3＝21，符合题意；当q≠1时，得q＝－.综上，q的值是1或－，故选C.
4.设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则公比q＝(　　)
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【解析】因为S2＝3，S4＝15，S4－S2＝12，所以
两个方程左右两边分别相除，得q2＝4，
因为数列是正项等比数列，所以q＝2，故选D.
5.在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，则的值为(　　)
A．－ B．－ C. D．－或
【答案】B
【解析】设等比数列{a