2024年高考数学一轮复习（人教版） 第3章　§3.3　导数与函数的极值、最值.docx

§3.3　导数与函数的极值、最值
考试要求　1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.掌握利用导数研究函数最值的方法.4.会用导数研究生活中的最优化问题．
知识梳理
1．函数的极值
(1)函数的极小值
函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值
函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．
2．函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
常用结论
对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的极值可能不止一个，也可能没有．(　√　)
(2)函数的极小值一定小于函数的极大值．(　×　)
(3)函数的极小值一定是函数的最小值．(　×　)
(4)函数的极大值一定不是函数的最小值．(　√　)
教材改编题
1．如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　A
解析　由题意知，只有在x＝－1处，f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，故f(x)的极小值点只有1个．
2．函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有极值，则实数a的取值范围是________________．
答案　(－∞，－)∪(，＋∞)
解析　f′(x)＝3x2－2ax＋2，由题意知f′(x)有变号零点，∴Δ＝(－2a)2－4×3×2>0，
解得a>或a<－.
3．若函数f(x)＝x3－4x＋m在[0,3]上的最大值为4，则m＝________.
答案　4
解析　f′(x)＝x2－4，x∈[0,3]，当x∈[0,2)时，f′(x)<0，当x∈(2,3]时，f′(x)>0，所以f(x)在[0,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增．又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m，所以在[0,3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4.
题型一　利用导数求解函数的极值问题
命题点1　根据函数图象判断极值
例1　(多选)(2023·华南师大附中模拟)如图是y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是(　　)
A．当x＝－1时，f(x)取得极小值
B. f(x)在[－2,1]上单调递增
C．当x＝2时，f(x)取得极大值
D. f(x)在[－1,2]上不具备单调性
答案　AC
解析　由导函数f′(x)的图象可知，
当－2<x<－1时，f′(x)<0，则f(x)单调递减；
当x＝－1时，f′(x) ＝0；
当－1<x<2时，f′(x)>0，则f(x)单调递增；
当x＝2时，f′(x)＝0；
当2<x<4时，f′(x)<0，则f(x)单调递减；
当x＝4时，f′(x)＝0，
所以当x＝－1时，f(x)取得极小值，故选项A正确；
f(x)在[－2,1]上有减有增，故选项B错误；
当x＝2时，f(x)取得极大值，故选项C正确；
f(x)在[－1,2]上单调递增，故选项D错误．
命题点2　求已知函数的极值
例2　(2022·西南大学附中模拟)已知函数f(x)＝ln x＋2ax2＋2(a＋1)x(a≠0)，讨论函数f(x)的极值．
解　因为f(x)＝ln x＋2ax2＋2(a＋1)x，所以f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋4ax＋2a＋2＝，
若a<0，则当x∈时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0，
故函数f(x)在上单调递增，在上单调递减；
故f(x)在x＝－处取得唯一的极大值，且极大值为f ＝ln－－1.
若a>0，则当x∈(0，＋∞)时，f